¿Por qué esta función es acotada y Lipschitz?

Question

Supongamos que $f \in \mathbb{R}[x]$ y definir $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por $$g(x) = \frac{f(x)^2}{(x^2+1)^{d+1}}, \text{where } d = \deg(f)$$

Estoy buscando una prueba rápida de por qué $g$ está acotado por encima y es Lipschitz.

Editar: $g$ no es adecuado como se menciona a continuación.

Answer 1

Pistas: para mostrar $g(x)$ es

• Limitado por encima: $g$ es continua en todas partes (¿por qué?) y $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} g(x)$ son finitos.

• Lipschitz: Bastaría con demostrar que $g'(x)$ está acotado para cada $x$ .