¿Cuál será el valor de
$ \int\sqrt[n]{\tan x},dx $
?
He resuelto los casos para n=2 y n=3 pero no veo cómo generalizarlo.
Respuestas
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La generalización es tediosa, pero en realidad es bastante sencilla. La clave es realizar la descomposición parcial de la fracción de alguna función racional de forma sistemática.
Introducir variables $y$ y $z$ tal que $y = \tan x = z^{n}$ tenemos
$$\int \sqrt[n]{\,\tan x} dx = \int \frac{y^{1/n}}{1+y^2} dy = \int \frac{n z^n}{1+z^{2n}} dz$$ Para cualquier número entero $k$ , dejemos que $\displaystyle\;\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{2n}\;$ . Podemos factorizar el denominador del integrando como
$$z^{2n}+1 = \prod_{k=0}^{n-1}\left(z- e^{i\theta_k}\right)\left(z - e^{-i\theta_k}\right) = \prod_{k=0}^{n-1}\left(z^2 - 2\cos\theta_k z + 1\right) $$ Lo que facilita la vida es que todas las raíces del denominador son simples. Dados dos polinomios cualesquiera $p(z)$ y $q(z)$ con $\deg p < \deg q$ . Si todas las raíces $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{\deg q}$ de $q(z)$ son simples, podemos leer la descomposición de la fracción parcial de su cociente fácilmente:
$$\frac{p(z)}{q(z)} = \sum_{k=1}^{\deg q} \frac{p(\lambda_k)}{q'(\lambda_k)(z - \lambda_k)}$$
Aplique esto a nuestro integrando y observe $e^{in\theta_k} = (-1)^k i$ podemos simplificar $\displaystyle\;\frac{n z^n}{1+z^{2n}}\;$ como
$$\begin{align} & n \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \frac{ e^{in\theta_k} }{2n e^{i(2n-1)\theta_k} (z - e^{i\theta_k} ) } + \frac{ e^{-in\theta_k} }{2n e^{-i(2n-1)\theta_k} (z - e^{-i\theta_k} ) } \right]\\ =& \frac{1}{2i}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \left[ \frac{e^{i\theta_k}}{z-e^{i\theta_k}} - \frac{e^{-i\theta_k}}{z-e^{-i\theta_k}} \right]\\ =& \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\sin\theta_k \left( \frac{z}{z^2 - 2\cos\theta_k z + 1}\right)\\ =& \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\left[ \sin\theta_k \left(\frac{z - \cos\theta_k}{z^2 - 2\cos\theta_k z + 1}\right) + \cos\theta_k\left(\frac{\sin\theta_k}{(z - \cos\theta_k)^2 + (\sin\theta_k)^2}\right)\right] \end{align}$$ y evaluar la integral indefinida como
$$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\left[ \frac{\sin\theta_k}{2} \log\left(z^2 - 2\cos\theta_k z + 1\right) + \cos\theta_k \arctan\left(\frac{z - \cos\theta_k}{\sin\theta_k}\right) \right] + \text{const.} $$
Claude Leibovici
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Como se ha dicho en los comentarios, se trata de una integral bastante difícil. Sin embargo, si se cambia la variable $x=\tan ^{-1}(y)$ , usted tiene $$\int\sqrt[n]{\tan x} dx=\int \frac {y^{1/n}} {1+y^2} dy =\frac{n y^{\frac{1}{n}+1} \, _2F_1\left(1,\frac{n+1}{2 n};\frac{1}{2} \left(3+\frac{1}{n}\right);-y^2\right)}{n+1}$$ que se ve un poco mejor que en la forma original para la que tendría muchos problemas para algunos valores específicos de $n$ ( $5$ , $7$ ,..).
Esto explica por qué, para $n=3$ (esto podría simplificarse significativamente con paciencia) $$\frac{1}{4} \left(-2 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\sqrt{3}-2 \sqrt[3]{\tan (x)}\right)-2 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(2 \sqrt[3]{\tan (x)}+\sqrt{3}\right)-2 \log \left(\tan ^{\frac{2}{3}}(x)+1\right)+\log \left(\tan ^{\frac{2}{3}}(x)-\sqrt{3} \sqrt[3]{\tan (x)}+1\right)+\log \left(\tan ^{\frac{2}{3}}(x)+\sqrt{3} \sqrt[3]{\tan (x)}+1\right)\right)$$
Añadido más tarde a esta respuesta
Si se hace un segundo cambio de variable $y=z^n$ debería llegar a una integral muy bonita que es $$n \int \frac {z^n}{1+z^{2n}} dz$$
