Una pregunta acerca de la aplicación de Arzelà-Ascoli

Question

Un ejemplo de una aplicación de Arzelà-Ascoli es que podemos usar para probar que el siguiente operador compacto: $$T: C(X) \to C(Y), f \mapsto \int_X f(x) k(x,y)dx$$ donde $f \in C(X), k \in C(X \times Y)$ $X,Y$ son compactos métrica espacios.

Para demostrar que $T$ es compacto, podemos mostrar que $\overline{TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)}$ es limitado y equicontinuous así que por Arzelà-Ascoli conseguimos lo que queremos. Para mí es claro que si $TB_{\|\cdot\|_\infty} (0,1)$ es limitada, a continuación, $\overline{TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)}$ es demasiado limitada. Lo que no está claro para mí es la razón por la $\overline{TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)}$ es equicontinuous si $TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)$ es.

Pienso como sigue: $TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)$ es denso en $\overline{TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)}$ con respecto al $\|\cdot\|_\infty$ por lo tanto todos los $f$ $\overline{TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)}$ son continuas (ya que los uniformes de los límites de secuencias continuas). Desde $Y$ es compacto, que son uniformemente continuas. Ahora no sé cómo argumentar por qué tengo equicontinuity de este. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Tomar cualquier $S\subseteq C(X)$ que es equicontinuous. Deje $\epsilon>0$. Tenemos algunos $\delta>0$ tal que $$f\in S, \|x-x'\|<\delta\implies \|f(x)-f(x')\|<\epsilon.$$ Para cualquier $f\in \bar S$, tenemos una secuencia $f_n\to f$ de manera uniforme con cada una de las $f_n\in S$. Entonces $$\|x-x'\|<\delta\implies \|f(x)-f(x')\|\leq \|f(x)-f_n(x)\|+\|f_n(x)-f_n(x')\|+\|f_n(x')-f(x)\|$$ que se convierte en menos de $\epsilon$ para suficientemente grande $n$. Por lo tanto $\bar S$ es equicontinuous.

Answer 2

En este caso, equicontinuity significa que para todos los $f$ tal que $\|f\|_\infty \leq 1$, y para todos los $\epsilon >0$, existe un $\delta>0$ que si $d_Y(x,y) < \delta$,$|Tf(x)-Tf(y)| \leq \epsilon$.

Ahora supongamos que hay una secuencia $f_n$ (en la unidad de la bola) tal que $T f_n \to \phi$. Supongamos $d_Y(x,y) < \delta$, entonces a partir de la $|Tf_n(x)-Tf_n(y)| \leq \epsilon$, para todos los $n$, se deduce que el $|\phi(x)-\phi(y)| \leq \epsilon$, así. Por lo tanto, cualquier punto límite también equicontinuous (con el mismo módulo de continuidad). Por lo tanto el cierre de $TB_{\|\cdot\|_\infty} (0, 1)$ es equicontinuous.

Answer 3

Siguientes a la tuberculosis comentario:

Reclamo: Si $\{f_n\}$ es equicontinuous y $f_n \to f$ de manera uniforme, a continuación, $\{f\} \cup \{f_n\}$ es equicontinuous.

Prueba: Supongamos $\varepsilon > 0$.

(i) Deje $\delta^\prime$ ser el delta que nos llega de equicontinuity de $\{f_n\}$, de modo que $d(x,y) < \delta^\prime$ implica $|f_n(x) - f_n(y)| < \varepsilon$ todos los $n$.

(ii) Desde el $f_n \to f$ uniformemente, $f$ es continua y desde $X$ es compacto, $f$ es uniformemente continua, por lo que hay un $\delta^{\prime \prime}$ tal que $d(x,y) < \delta^{\prime \prime}$ implica $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$.

Ahora vamos a $\delta = \min(\delta^\prime, \delta^{\prime \prime})$ $d(x,y) < \delta$ implica $|g(x) - g(y)| < \varepsilon$ todos los $g$$\{f\} \cup \{f_n\}$.

---

Editar Lo que escribí arriba es una basura y que no llevan a ninguna parte. Como se señaló en Ahriman comentario de la OP, no necesitamos la continuidad de $f$. Podemos enlazado $f$ como sigue (en analogía a la prueba del uniforme teorema del límite): Vamos a $\delta$ ser tal que $|f_n(x) - f_n(y)| < \varepsilon / 3$ todos los $n$ y todos los $x,y$. Desde $f$ es el límite uniforme de $f_n$ $x$ fijo, $f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy converge hacia a $f(x)$. Deje $n$ ser tal que $\|f-f_n\|_\infty < \varepsilon / 3$. Entonces $$|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)| + |f(y)-f_n (y)| < \varepsilon$$

Por lo tanto podemos optar $\delta$ tal que $|f(x) - f(y)| < \varepsilon / 3$ todos los $f$ $TB(0,1)$ a conseguir ese $\overline{TB(0,1)}$ es equicontinuous, demasiado.