Supongamos $X$ es una variedad proyectiva y $f:X\to Y$ una de morfismos, es la imagen de $f(X)$ proyectiva?(el esquema de la imagen está bien definido en este caso, o la inducida por la reducción de la estructura de la cerrada subconjunto $f(X)$) Hartshorne dice que esta propiedad tiene para el propio. Generalmente, ¿cómo podemos reclamar una variedad(esquema) es proyectivo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, la imagen de una variedad proyectiva no siempre es proyectiva.
De hecho, el Chow del lema de los estados que, dado cualquier completar irreductible variedad $X$, existe un proyectiva variedad $X'$ y un birational surjective de morfismos $f:X'\to X$.
La elección de $X$ un completo irreductible variedad que no es proyectiva, por lo tanto da un ejemplo de una variedad proyectiva $X'$ cuya imagen $X$ no es proyectiva.
Para ser completa (!), permítanme mencionar que un ejemplo, debido a la Hironaka de una completa, pero no proyectivas lisas $3$-dimensional en la variedad está dada en Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica, volumen 2, página 75.
