La definición del cierre separable de un campo

Question

¿Podría alguien decirme la definición del cierre separable de un campo $K$ ?

Además, me gustaría saber si es una extensión de Galois de $K$ ? Además, ¿por qué es útil esta construcción?

Answer 1

Consideremos un campo $K$ y digamos que fijamos un cierre algebraico $K^{\text{alg}}$ de ella.

Ahora, $K^{\text{alg}}$ puede contener elementos no separables (sobre $K$ ), es decir, su polinomio mínimo no es un polinomio separable (es decir, tiene raíces de multiplicidad mayor $1$ en $K^{\text{alg}}$ o equivalentemente no es coprima con su derivada).

Las extensiones y elementos no separables no son tan agradables en algunos aspectos, en particular recordemos que una extensión es Galois si es normal y separable. Por lo tanto, se podría considerar que sólo se consideran todas las extensiones separables (sobre $K$ ) elementos en $K^{\text{alg}}$ . El conjunto de todas estas formas vuelve a ser un campo y se denomina cierre separable de $K$ .

Y, sí, esta extensión es una extensión de Galois; de hecho es la máximo Extensión de Galois de $K$ .

Una ampliación $L/K$ se llama normal si cada polinomio irreducible en $K[X]$ que tiene un cero en $L$ puede descomponerse en factores lineales en $L$ . O dicho de otro modo, si $L$ contiene uno de los ceros de un polinomio $P$ contiene todos los ceros de $P$ . Ahora bien, un elemento es separable si su polinomio mínimo es un polinomio separable. Así, o bien todos los ceros de P son separables y P se descompone en factores lineales, o bien ninguno de ellos es separable y no tiene ningún cero. En cualquier caso, cada polinomio que tenga un 0 en el cierre separable también se descompondrá en factores lineales; por tanto, la ext. es normal.

Además, hay que tener en cuenta que para algunos campos como los racionales o cualquier campo de característica $0$ pero también para campos finitos, el cierre separable no es más que el cierre algebraico. La cuestión es que estos campos son campos perfectos y, por tanto, toda extensión algebraica es separable.