Funcional lineal en el espacio de la matriz, no negativo en las matrices semidefinidas positivas

Question

Deje que $f:M_n( \mathbb C) \to \mathbb C$ ser una función lineal tal que $f(x^* x) \ge0 $ para todos $x$ y $f(1)=1$ . Mostrar que existen $ \alpha_1 ,..., \alpha_k\in \mathbb C^n$ de tal manera que $f(x)= \sum_ {i=1}^{k} \langle x \alpha_i , \alpha_i \rangle $ para todos $x \in M_n( \mathbb C)$ .

Answer 1

Ampliando ligeramente el comentario-respuesta del usuario8268:

1. Toda función lineal $f:M_n(\mathbb C)\to \mathbb C$ es de la forma $f(X)=\operatorname{tr }(XA)$ para alguna matriz $A\in M_n(\mathbb C)$ . (Obsérvese que $\operatorname{tr }(XA) = \sum_{ij}X_{ij}A_{ji}$ y recordar la forma general del funcional lineal en un espacio vectorial de dimensión finita).
2. Toma $\alpha\in \mathbb C^n$ . La matriz $\alpha\otimes \alpha^*$ (producto exterior) es definida positiva, por lo que $f$ es no negativo en él. Dado que $\operatorname{tr }(\alpha\otimes \alpha^* A) = \alpha^*A\alpha$ la no negatividad de esta expresión para todo $\alpha\in \mathbb C^n$ implica que $A$ es semidefinida positiva. (Aquí es importante que trabajemos sobre números complejos; en el caso real $A$ podría ser no simétrico).
3. Una matriz definida positiva puede diagonalizarse y, por tanto, escribirse de la forma $A=\sum_{j=1}^n \alpha_j\otimes \alpha_j^*$ . Por lo tanto $f(X)=\sum_{j=1}^n\operatorname{tr }(X\alpha_j\otimes \alpha_j^*) = \sum_{j=1}^n \alpha_j^* X\alpha_j$ según sea necesario.