Dado un $2\times 2$ matriz $A$, calcula el $A^7$.

Question

Let A $= \begin{pmatrix} e^{2x} & -1 \\ 0 & e^{2x}-1 \\ \end{pmatrix} $. Compute $^7$.

He intentado de la manera obvia de multiplicar $A$$A$,$A^2$$A^2$, pero llegué a un desordenado resultado en la parte superior derecha miembro de la matriz. Hay una forma general para ser notado aquí?

Answer 1

Deje $A=\pmatrix{a&b\\0&d}$ en su lugar, para evitar el desorden. Es claro entonces que $$A^n=\pmatrix{a^n&b_n\\0&d^n}$$ para algunos $b_n$. A continuación, $b_1=b$ y, en general,$b_{n+1}=ab_n+b d^n$. Así $b_2=(a+d)b$, $b_3=(a^2+ad+d^2)b$, $b_4=(a^3+a^2d+ad^2+d^3)b$ etc. Un patrón que parece emerger. Es $$b_n=(a^{n-1}+a^{n-2}d+\cdots+ad^{n-2}+d^{n-1})b =\frac{a^n-d^n}{a-d}b?$$ Uno podría intentar probar esto por inducción.

Answer 2

Deje $P=\pmatrix{0&1\\ 0&1}$. Tenga en cuenta que $P^k=P$ por cada $k\ge1$. Por lo tanto \begin{align} A^7 &=(e^{2x}I-P)^7\\ &=\sum_{k=0}^7\binom{7}{k}e^{2x(7-k)}(-1)^kP^k\\ &=e^{14x}I+\sum_{k=1}^7\binom{7}{k}e^{2x(7-k)}(-1)^kP^k\\ &=e^{14x}I+\sum_{k=1}^7\binom{7}{k}e^{2x(7-k)}(-1)^kP\\ &=e^{14x}(I-P)+\sum_{k=0}^7\binom{7}{k}e^{2x(7-k)}(-1)^kP\\ &=e^{14x}(I-P)+(e^{2x}-1)^7P\\ &=\pmatrix{e^{14x}&(e^{2x}-1)^7-e^{14x}\\ 0&(e^{2x}-1)^7}. \end{align}

Answer 3

Observar que, para $x \neq 0$ esta matriz tiene dos autovalores, $\lambda_1 = \exp(2x)$$\lambda_2 = \exp(2x) -1$. El vector propio correspondiente al segundo autovalor es $[1,1]^T$, ya que las filas todo suma a a $\lambda_2$.

Por el otro autovector calculamos: $$A [a,b]^T = \lambda_1 [a,b]^T$$ $$\begin{cases} a\exp(2x) - b = \exp(2x) a\\ b (\exp(2x) -1) = b \exp(2x) \end{casos}$$ La primera ecuación nos da $b = 0$, e $a$ es una variable libre que nos pusimos a $1$.

Ahora hemos calculado la diagonalisation de $A$. Vamos a: $ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $ y $D = \begin{pmatrix} e^{2x} & 0 \\ 0 & e^{2x}-1 \\ \end{pmatrix}$.

A continuación, $A = PDP^{-1}$ y tenemos $A^7 = P D^7 P^{-1}$. Ahora, ¿sabes cómo calcular la potencia de una matriz diagonal?

El caso de $x=0$ es para que usted pueda averiguar!

Answer 4

Para el 7 de poder, que se paga ya fuera a diagonalize la matriz. Es fácil ver que los valores propios son $e^{2x}$ $e^{2x}-1$ con los vectores propios $(1,0)^T$$(1,1)^T$. Así, podemos escribir la $A$ $A = T D T^{-1}$ con $$T= \begin{pmatrix}1 &1\\ 0 &1 \end{pmatrix}, \quad D= \begin{pmatrix}e^{2x} &0\\ 0 &e^{2x}-1 \end{pmatrix}, \quad T^{-1}=\begin{pmatrix}1 &-1\\ 0 &1 \end{pmatrix}.$$

El 7-j de energía está dada por $$A^7 = T D^7 T^{-1} = \begin{pmatrix}1 &1\\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{14x} &0\\ 0 &(e^{2x}-1)^7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &-1\\ 0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}e^{14 x} &(e^{2x}-1)^7-e^{14 x}\\ 0 &(e^{2x}-1)^7 \end{pmatrix}.$$

Answer 5

Ha $A=B+C$, donde $$ B=\begin{bmatrix} e^{2x}&0\\0&e^{2x}-1\end{bmatrix},\ \ \ C=\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}. $$ La clave está en que $C^2=0$,$CB^kC=0$. También, \begin{align} B^kCB^m&=\begin{bmatrix} e^{2kx}&0\\0&(e^{2x}-1)^k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{2mx}&0\\0&(e^{2x}-1)^m\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&-(e^{2x})^k(e^{2x}-1)^m\\0&0\end{bmatrix}\\ \ \\ &=(e^{2k})^k(e^{2x}-1)^m\,C. \end{align} Luego, después de la cancelación de todas las cero términos, \begin{align} (B+C)^7&=B^7+\sum_{k=0}^7B^kCB^{7-k}=B^7+\sum_{k=0}^7(e^{2x})^k(e^{2x}-1)^{7-k}C \end{align}

Así $$ A^7=(B+C)^7=\begin{bmatrix} e^{14x}&-\displaystyle\sum_{k=0}^7(e^{2x})^k(e^{2x}-1)^{7-k}\\0&(e^{2x}-1)^7\end{bmatrix}. $$ La suma puede ser simplificado señalando que $$ \sum_{k=0}^7^kb^{7-k}=\frac{b^7^7}{b}. $$ Así $$ A^7=(B+C)^7=\begin{bmatrix} e^{14x}&\displaystyle (e^{2x}-1)^{7}-e^{14x}\\0&(e^{2x}-1)^7\end{bmatrix}. $$