La matriz de transformación lineal con base estándar viene dada por $\begin{pmatrix} 0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{pmatrix}$ donde $a,b,c$ son números reales no todos cero.La pregunta es comprobar si esto mapea cualquier línea a través del origen sobre sí mismo.Estaba pensando en multiplicar la matriz por $(xt,yt,zt)$ y para comprobar si la salida es la misma $(xt,yt,zt)$ ¿Es correcto?
Tenga en cuenta que una transformación lineal $T$ envía una línea que pasa por el origen a sí misma si y sólo si esa línea está contenida en un espacio propio (para un valor propio no nulo) de $T$ . Es decir, la línea es de la forma $\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}\set{tv:t\in\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\RR}$ para algún vector propio $v$ con valor propio $\lambda\ne 0$ de $T$ . Esto se puede ver en el hecho de que si $v$ es un vector propio, entonces $T(tv)=t\lambda v$ que sigue en esa línea (y este mapa es biyectivo de la línea a sí mismo si $\lambda\ne 0$ ), y si $T$ envía la línea a sí mismo, $Tv = tv$ para algunos $t\ne 0\in\RR$ . Que $t$ es el valor propio no nulo para el que este $v$ es un vector propio.
Por lo tanto, para demostrar que esta matriz no envía ninguna línea por el origen a sí misma, basta con mostrar que no tiene valores propios reales no nulos. O bien, para encontrar una recta que pase por el origen y que envíe a sí misma, tendríamos que encontrar un vector propio con valor propio no nulo. En cualquier caso, tenemos que calcular los valores propios.
Para calcular los valores propios, calculamos el polinomio característico de esta matriz, $$p_T(t) = \det (tI-T) = \det\begin{pmatrix} t&-a&-b\\a&t&-c\\b&c&t\end{pmatrix}= t^3+abc-abc +b^2t+c^2t+a^2t = t(t^2+a^2+b^2+c^2).$$ Este tiene una única raíz real en $t=0$ y si uno de $a,b,$ o $c$ es distinto de cero, los demás valores propios son complejos. Incluso si $a=b=c=0$ los otros valores propios también son 0, ya que entonces $T=0$ . Por lo tanto, en ningún caso $T$ enviar una línea a través del origen a sí mismo.
La idea es correcta. Dejemos que $M$ sea su matriz. Lo que deberías tratar de determinar es si hay o no un vector $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ tal que $M.(x,y,z)$ es de la forma $\lambda(x,y,z)$ para algunos $\lambda\neq0$ . Y no hay tal vector porque, como se puede comprobar fácilmente, $(x,y,z)$ y $M.(x,y,z)$ son siempre ortogonales.
@omkarGirkar $M.(x,y,z)=(a y+b z,c z-a x,-b x-c y)$ y el producto punto de este vector y $(x,y,z)$ es $0$ .
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¿Cómo son $x,y,z,t$ cuantificado? Como se ha dicho sin cuantificadores, yo diría que este método es incompleto en el mejor de los casos. Pero si puedes decir correctamente cómo se cuantifican esos símbolos, entonces esto podría convertirse en un método de solución correcto.
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Significa que tomo cualquier línea que pase por el origen en $R^{3}$ espacio que es $(0,0,0)+t(x-0,y-0,z-0)$ donde $(x,y,z)$ es cualquier punto del espacio.
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@omkarGirkar Se asume tácitamente que $t$ es un escalar, pero deberías incluir alguna mención al campo del que toma valores, ya que puede cambiar las propiedades del espacio vectorial. No es relevante para tu pregunta pero estilísticamente sería una mejora incluirlo.