Precálculo y tasa de cambio

Question

Sacha vacía el agua de un jacuzzi. El jacuzzi contiene $1600$ L de agua. Se necesita $2$ h para que el agua se escurra completamente. El volumen de agua en el jacuzzi se modela mediante $V(t) = 1600 - \dfrac{t^2}{9}$ , donde $V$ es el volumen en litros a $t$ minutos y $0 < t < 120$ .

a) Determina la tasa media de cambio de volumen durante la segunda hora.

Sé que la respuesta es $20$ L/min después de mirarlo en la sección de respuestas de mi libro de texto, pero no sé cómo obtuvieron esa respuesta.

Answer 1

El volumen al comienzo de la segunda hora es $1600-\frac{60^2}{9}$ . Esto es $1200$ .

El volumen al final de la segunda hora es $1600-\frac{120^2}{9}$ . Esto es $0$ .

Así que el cambiar en la segunda hora es $1200$ . Esto tomó $60$ minutos. Así que la tasa media de cambio en la segunda hora es $\frac{1200}{60}$ litros por minuto.

Observaciones: $1$ . Más adelante, en el cálculo, se adopta un punto de vista algo diferente. Al principio de la segunda hora tenemos $1200$ litros, y al final tenemos $0$ . Así que el cambio en la segunda hora es $0-1200$ Es decir, $-1200$ . El cambio es negativo porque la cantidad de agua ha disminuido. Llegamos a la conclusión de que la tasa media de cambio en la segunda hora es $\frac{-1200}{60}$ litros por minuto, es decir, $-20$ litros por minuto. Esa es, en mi opinión, la respuesta correcta. Pero como la cantidad es claramente decreciente, la respuesta un tanto descuidada " $20$ " es más o menos aceptable.

$2$ . La fórmula dada es físicamente inverosímil. Porque hay que tener en cuenta que el cambio en la primera hora es $1600-1200$ por lo que la tasa media de cambio en la primera hora es $\frac{400}{60}$ litros por minuto, mucho menos que la tasa media de cambio en la segunda hora. Sin embargo, cabría esperar que, debido a la mayor presión al principio, la tasa media de cambio en la primera hora fuera mayor que la tasa media de cambio en la segunda hora.

Answer 2

La tasa media de cambio en $V$ entre tiempos $t_1$ y $t_2$ es sólo la pendiente de la línea que une $V(t_1)$ y $V(t_2)$ . Así que aquí $t_1=60, t_2=120$ , $V(60)=1200, V(120)=0$ , por lo que la pendiente es $$\frac{1200-0}{120-60}=20$$

Answer 3

El volumen de agua al comienzo de la segunda hora es $$V(60) = 1200 \text{ L}.$$

El volumen de agua al final de la segunda hora es $$V(120) = 0 \text{ L}.$$

La variación neta del volumen es, pues, la siguiente $$0 \text{ L} - 1200 \text{ L} = -1200 \text{ L}.$$

Como este cambio ha durado 60 minutos en total, la tasa media de cambio es $$\frac{-1200 \text{ L}}{60 \text{ min.}} = -20 \text{ L/min}.$$

El signo negativo explica el hecho de que con el tiempo perdemos agua en lugar de ganarla.