La desigualdad de Bernoulli para los exponentes racionales.

Question

Hemos demostrado que $$(1+x)^n \geq 1+nx \quad \forall n \in \mathbb{N} \land x \geq -1$$ con la inducción, y la próxima ejercicios para acreditar $1$$2$: $$(1+x)^p \leq 1+px \quad \forall p \in \mathbb{Q}\cap[0,1] \land x \geq -1 \tag{1}$$ $$(1+x)^p \geq 1+px \quad \forall p \in \mathbb{Q}\cap[1,\infty) \land x \geq -1 \tag{2}$$ Me dijeron que $(1)$ será útil en la demostración de $(2)$, por lo que se sugiere probar el $(1)$ primera.

Mi trabajo:
Para la primera, que fue capaz de demostrar que $$(1+x)^{1/n} \leq 1+\frac{x}{n} \quad \forall n \in \mathbb{N}_{+} \land x \geq -1$$ Como este: $$(1+x)^{1/n} \overset{?}{\leq} 1+\frac{x}{n}$$ $$(1+x)\overset{?}{\leq} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ $$ 1+nx \leq (1+x)^n$$ Lo cual es cierto, pero yo no podía ir más allá.

Pero yo era capaz de demostrar $(2)$$(1)$:$q \in \mathbb{Q}\cap (0,1]$, tenemos que $$(1+x)^q \leq 1+qx$$ Dejando $pq=1$: $$1+x \leq \left( 1+\frac{x}{p}\right)^p$$ $$1+px \leq (1+x)^p$$ Me podría dar una pista a la primera?

Answer 1

Su desigualdad $(1)$, aquí una forma: que $p = \dfrac{m}n \in (0, 1)$ donde $m, n \in \mathbb N$. Así $m

Answer 2

IMPRIMACIÓN:

Es fácil mostrar que la secuencia de $e_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$ aumenta monótonamente para $x>-1$. Para mostrar esto, nosotros simplemente analizar la relación de

$$\begin{align} \frac{e_{n+1}(x)}{e_n(x)}&=\frac{\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac xn\right)^n}\\\\ &=\left(1+\frac{-x}{(n+x)(n+1)}\right)^{n+1}\left(1+\frac xn\right) \tag 1\\\\ &\ge \left(1+\frac{-x}{n+x}\right)\left(1+\frac xn\right)\tag 2\\\\ &=1 \end{align}$$

donde ir de $(1)$ $(2)$hemos utilizado la Desigualdad de Bernoulli. Tenga en cuenta que $(2)$ es válido siempre $n>-x$ o $x>-n$.

Equipado con la monotonía de $e_n$ ahora procedemos.

---

Deje $n$ $m$ ser enteros positivos tales que a $p=m/n\le 1$. A continuación, el uso de $e_m(y)\le e_n(y)$ $y>-1$ y dejando $y=mx$ vemos que para $x\ge0$

$$\left(1+x\right)^m\le \left(1+\frac{mx}{n}\right)^n\tag3$$

Tomando el $n$th raíz de ambos lados de $(3)$ rendimientos

$$(1+x)^p\le 1+px$$

para $0\le p\le 1$, como iba a ser mostrado.

Answer 3

Para x positivo aumenta la secuencia $(1+\frac{x}{n})^n$. Tenemos $(1+\frac{xp}{q})^q$ $\lt $ $(1+\frac{xp}{p})^p$ $=(1+x)^p$ $\Rightarrow $ $1+\frac{xp}{q}$ $\lt$ $(1+x)^{p/q}$ $\Rightarrow $ $1+xr\lt(1+x)^r $.