Integral impropia de Gradshteyn y de Ryzhik

Question

Este es el integral se puede encontrar en la introducción de ' especial integrales de Gradshteyn y Ryzhik las pruebas - volumen I' por Victor H. Moll:

$$\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2} \left[ \phi(x) + \sqrt{\phi(x)} \right]^{1/2}}, \quad \phi(x) = 1 + \frac{4x^2}{3(1+x^2)^2} \;. El autor no sabe la respuesta final. Se afirma que es $\pi / 2 \sqrt{6}$, aunque Integración numérica contradice esto.

¿Alguna idea cómo solucionarlo o donde encontrar pistas?

Answer 1

Solo por curiosidad, trabajé numéricamente $$I (k) = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {dx} {\ left (x ^ 2 +1 \ right) ^ {3/2} \ sqrt {\ phi (x) + \ sqrt {\ phi (x)}}} \ qquad, \ qquad \ phi (x) = 1 + \ frac {kx ^ 2} {(1 + x ^ 2) ^ 2}$$ and tried to find $k$ such that $$I(k)=\frac{\pi }{2 \sqrt{6}}$$ The closest value I found is $k _ * = 0.5923509316314110643$ which inverse symbolic calculators did not find any equivalent. $$I(k_*)\approx 0.6412749150809320477747$$ $$\frac{\pi }{2 \sqrt{6}}\approx0.6412749150809320477720