Intuición sobre el producto semidirecto de grupos

Question

Si tenemos dos grupos $G,H$ la construcción del producto directo es bastante natural. Si pensamos en la forma más natural de hacer el producto cartesiano $G\times H$ en un grupo es ciertamente definiendo la multiplicación

$$(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2),$$

con identidad $(1,1)$ y la inversa $(g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})$ .

Por otro lado tenemos la construcción del producto semidirecto que es la siguiente: consideremos $G$ , $H$ grupos y $\varphi : G\to \operatorname{Aut}(H)$ un homomorfismo, definimos el grupo de productos semidirectos como el producto cartesiano $G\times H$ junto con la operación

$$(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1\varphi(g_1)(h_2)),$$

y denotamos el grupo resultante como $G\ltimes H$ .

A continuación demostramos que se trata de un grupo y mostramos muchas propiedades del mismo. Mi punto aquí es la intuición.

Esta construcción no parece muy natural de hacer. Hay muchas operaciones para convertir el producto cartesiano en un grupo. La que se utiliza al definir el producto directo es la más natural. Ahora bien, ¿por qué le damos especial importancia a ésta?

¿Cuál es la intuición que hay detrás de esta construcción? ¿Qué estamos consiguiendo aquí y por qué es importante esta forma particular de convertir el producto cartesiano en un grupo?

Answer 1

Olvídate por ahora de la construcción del producto semidirecto. Sostengo que el producto semidirecto es importante porque surge de forma natural y hermosa en muchas áreas de las matemáticas. A continuación enumeraré muchos ejemplos, y le insto a que busque algunos que le interesen y los estudie en detalle.

Antes de hacerlo, permítanme dar la siguiente motivación extra: digamos que tienen un grupo $G$ y se encuentran dos subgrupos $H,K$ tal que cada elemento de $G$ puede escribirse de forma única como un producto $hk$ para $h \in H$ , $k \in K$ . En otras palabras, se tiene una biyección teórica de conjuntos entre $G$ y $H \times K$ . Entonces ciertamente querrá entender $G$ estudiando sus componentes más pequeños $H$ y $K$ . Una forma de conseguirlo sería encontrar una estructura de grupo adecuada en $H \times K$ entrelazando las estructuras de $H$ y $K$ tal que la biyección anterior se convierte en un isomorfismo de grupo. Este se puede hacer Sin embargo, hacer las cosas con esta generalidad se vuelve rápidamente tedioso. Si, en cambio, restringimos nuestra atención a tales descomposiciones con $H$ normal en $G$ El problema se vuelve mucho más manejable. En este caso tenemos lo que llamamos una secuencia exacta dividida $$1 \to H \to G \to K \to 1,$$ y $G$ se llama producto semidirecto de $H$ y $K$ . Un teorema de existencia y unicidad nos da todo los posibles productos semidirectos que se pueden obtener de $H$ y $K$ a través del grupo de homomorfismos de $K$ a $\operatorname{Aut}H$ . Tenga en cuenta que $K = \mathbb{Z}/2$ aparece a menudo en la práctica, porque así se garantiza la normalidad de $H$ . He aquí algunos ejemplos:

• El grupo simétrico $S_n = A_n \rtimes \mathbb{Z}/2$ . La secuencia exacta es $$1 \to A_n \to S_n \xrightarrow{\mathit{sign}} \mathbb{Z}/2 \to 1.$$

• El grupo diédrico $D_n = \mathbb{Z}/n \rtimes \mathbb{Z}/2$ . La secuencia exacta es $$1 \to \mathbb{Z}/n \to D_n \xrightarrow{\mathit{det}} \mathbb{Z}/2 \to 1.$$

• El grupo diédrico infinito $D_\infty = \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2$ . La secuencia exacta depende de su construcción explícita. Puede tomar $$1 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \to 1$$ o $$1 \to \mathbb{Z} \to A(1,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}/2 \to 1,$$ donde $A(1,\mathbb{Z})$ es el grupo de transformaciones afines de la forma $x \mapsto ax + b$ , donde $a \in \{ \pm 1 \} \cong \mathbb{Z}/2$ y $b \in \mathbb{Z}$ .

• Muchos grupos de matrices, gracias al mapa de determinantes. Por ejemplo, $G = \operatorname{GL}(n,\mathbb{F})$ , $O(n,\mathbb{F})$ y $U(n)$ tienen sus respectivos subgrupos $H = \operatorname{SL}(n,\mathbb{F}),\operatorname{SO}(n,\mathbb{F}),\operatorname{SU}(n)$ y $K = \mathbb{F}^\times,\mathbb{Z}/2,U(1)$ .

• El grupo fundamental de la botella de Klein es $G = \langle x,y \mid xyx = y \rangle$ . Esto no es más que el producto semidirecto no trivial de $\mathbb{Z}$ con ella misma. Curiosamente, el otro producto semidirecto (trivial) $\mathbb{Z}^2$ es el grupo fundamental de la otra superficie cerrada de característica Euler $0$ , es decir, el toroide.

• El grupo afín $A(n,\mathbb{F}) = \mathbb{F}^n \rtimes \operatorname{GL}(n,\mathbb{F})$ . Sus elementos son transformaciones $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^n$ de la forma $x \mapsto Ax + b$ con $A$ una matriz invertible y $b$ un vector de traslación. La secuencia exacta es $$1 \to \mathbb{F}^n \to A(n,\mathbb{F}) \xrightarrow{f} \operatorname{GL}(n,\mathbb{F}) \to 1$$ donde $f$ olvida la estructura afín (la parte de la traslación).

• El grupo hiperoctaédrico $O(n,\mathbb{Z})$ es el grupo de matrices de permutación con signo. Tenemos dos descomposiciones $O(n,\mathbb{Z}) \cong \operatorname{SO}(n,\mathbb{Z}) \rtimes \mathbb{Z}/2$ y $O(n,\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2)^n \rtimes S_n$ . En las correspondientes secuencias exactas el mapa suryectivo es respectivamente el homomorfismo determinante y el homomorfismo "olvida todos los signos".

Answer 2

Es agradable pensar en $D_4$ como producto semidirecto. A saber, $D_4=\langle \sigma,\tau:\sigma^4=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau\rangle$ . Se puede ver el automorfismo porque $\sigma$ y $\tau$ no conmutan, pero el automorfismo ( $x\mapsto x^{-1}$ ) le indica cómo mover el $\tau$ más allá de la $\sigma$ .

En general, el producto directo no es suficiente porque la operación entre elementos de los dos subgrupos es siempre conmutativa. Por otra parte, si $G$ es un grupo, $N$ es un subgrupo normal, $H$ es un subgrupo ( $H$ no tiene por qué ser normal como en un producto directo), $H\cap N=\{1\}$ y $G=NH$ entonces $G$ debe sea un producto semidirecto. (La operación entre elementos de $N$ y $H$ no tiene por qué ser conmutativo). Así, se puede argumentar que el producto semidirecto clasifica todos los grupos construidos de esta manera.

La gran idea de un producto semidirecto es la siguiente:

• Tiene dos subgrupos $N$ y $H$ . Se entiende la operación cuando se multiplican elementos de $N$ y se entiende la operación cuando se multiplican elementos de $H$ .

• El automorfismo se utiliza para comparar la operación entre elementos de $N$ y elementos de $H$ .

• Usted sabe que $N$ es normal, por lo que para cualquier $n\in N$ y $h\in H$ , $hnh^{-1}$ es algún elemento de $N$ y el mapa $n\mapsto hnh^{-1}$ es un automorfismo de $N$ . La construcción del producto semidirecto describe este automorfismo de conjugación. Por lo tanto, si el automorfismo determinado por la conjugación es $\phi_h:N\rightarrow N$ entonces $hn=hnh^{-1}h=\phi_h(n)h$ .

Answer 3

Creo que tengo un punto de vista diferente al de la mayoría de la gente sobre esto, lo que se debe a la forma en que lo encontré por primera vez (en la línea de la física matemática). Para mí, el producto directo carece de mucha estructura. En realidad, sólo se juntan dos grupos y se da por concluido, como cuando se combinan dos subespacios mediante sumas directas.

El producto semidirecto es una forma sencilla de mezclar realmente dos grupos. Consideremos las matrices. Si tenemos dos grupos de matrices cuadradas (con la misma dimensión), digamos $G$ y $H$ entonces, si multiplicáramos los elementos, tendríamos $g_1 h_1 g_2 h_2$ . Esto sería como el producto $(g_1,h_1)(g_2,h_2)$ en notación de producto directo. Si $H$ se desplaza con $G$ entonces podríamos reescribirlo como $g_1 g_2 h_1 h_2$ que podríamos entender como similar a $(g_1g_2,h_1h_2)$ en notación de producto directo. Los dos grupos no se ven realmente en este escenario.

Sin embargo, sabemos que no siempre es así. En cambio, lo que puede ocurrir es que $H$ actúa sobre $G$ de alguna manera para que si se intenta reenvasar el producto $g_1 h_1 g_2 h_2$ en la forma $g_1 g_2 h_1 h_2$ , $g_2$ se confunde un poco por $h_1$ . Como no queremos dejar el grupo $G$ , necesitaríamos que $h_1$ actuando en $g_2$ nos da otro elemento en $G$ . Además $h_1 I = I h_1$ así que $h_1$ tendría que permutar los elementos de $G$ dejando la identidad fija. Además, si tuviéramos $g_1 h_1 g_2g_3 h_3$ y, a continuación, actuando $h_1$ en cada uno de $g_2$ y $g_3$ de forma independiente (y desplazándose) debería dar el mismo resultado que actuando sobre su producto (y desplazándose) - esto es sólo la propiedad de homomorfismo.

Esto no da lugar a la auto aspecto del morfismo, pero esto se puede ver observando que $h^{-1}hg = g$ y por lo tanto si $h$ mapeado $g$ a la identidad, se tendría una contradicción (a menos que $g = I$ por supuesto).

En resumen: si tuvieras dos grupos de matrices $G$ y $H$ que no necesariamente conmutan sino que intentan reordenar los elementos de una manera de producto directo, necesariamente se necesita que $H$ actúa sobre $G$ por automorfismos.

Answer 4

Estás viendo esto de manera equivocada.

La razón principal por la que definimos el producto directo de grupos es que nos gusta describir/comprender la estructura de los grupos y nos dimos cuenta de que muchos grupos son, bueno, productos directos.

Ahora bien, no todos los grupos son productos directos. Por ejemplo, el grupo diédrico no es un producto directo. Pero en este último ejemplo, por ejemplo, somos capaces de proporcionar una descripción muy útil del grupo de una manera que se asemeja a un producto directo en cierto modo. Como encontramos este mismo fenómeno en muchos contextos, le damos un nombre y lo llamamos producto semidirecto.

Es un error, y una fuente de frustración, buscar la intuición de una definición que está motivada por ejemplos: nadie tenía intuitivo razón para inventar la definición de productos semidirectos de la nada.

La definición no tiene una intuición que la justifique: es un concepto útil en el sentido de que se aplica a muchos ejemplos y encierra muchas características útiles que sirven para hacer cosas con los grupos.

No lo haría en cuanto a la intuición para la definición del término "árbol".

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La construcción no le parece natural simplemente porque no conoce muchos grupos y aún no ha dedicado mucho tiempo a investigar la estructura de los grupos en detalle - si lo hace, entonces la fuerza de los ejemplos lo hará natural.

El punto clave es lo que significa que una definición sea "natural". Y casi nunca significa que "a uno se le ocurra por meditación abstracta": esencialmente todas las definiciones se hacen para codificar una situación que la gente encuentra a menudo y a la que, por esa razón, es útil dar un nombre. Por supuesto, este significado de "naturalidad" es relativo: lo que a usted le parece antinatural sería totalmente natural para, por ejemplo, Burnside.

La conclusión de todo esto es que casi nunca es útil ni productivo preguntar por la intuición de las definiciones cuando te las encuentras por primera vez: lo que te ayudará no es una intuición etérea sino los ejemplos, y eso es lo que uno debe pedir para maximizar la comprensión.

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La siguiente pregunta sería, naturalmente, "¿cuál es la intuición detrás de la Producto Zappa-Szép y la respuesta sería la misma: ninguna. Pero algunos grupos no son productos directos ni semidirectos, pero siguen teniendo dos subgrupos que tienen propiedades algo similares a los factores de un producto directo, y como esto ocurre a menudo en la práctica, damos un nombre a esa situación.

Answer 5

Muchos han dado buenas respuestas aquí, así que sólo quiero responder específicamente por la intuición que hay detrás.

El producto semidirecto salió a la luz cuando descubrimos que si un grupo $H$ es un subgrupo normal, y otro grupo $K$ es también un subgrupo (no necesariamente normal) de un grupo mayor, y $H \cap K = 1$ la multiplicación de esos dos subgrupos daría lugar a otro grupo $HK$ con orden $\frac{|H||K|}{|H \cap K|} = |H||K|$ (como $H \cap K = 1$ ).

Así que sabemos que el nuevo grupo $HK$ puede escribirse de forma única en la forma de $hk$ donde $h \in H$ y $k \in K$ . Por ello, la multiplicación en $HK$ por lo que todos los elementos de $HK$ Siempre se puede escribir en forma de pozo... $hk$ Por ejemplo:

$(h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2$

Como $H$ es un subgrupo normal, $k_1 h_2 k_1^{-1} \in H$ por lo que se puede reescribir como:

$(h_1 k_1)(h_2 k_2) = (h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1})) (k_1 k_2) = h_3 k_3$

donde $h_3 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) \in H$ y $k_3 = k_1 k_2 \in K$ .

Pero observamos que esta conjugación de la izquierda por $k_1$ que es $k_1 h_2 k_1^{-1}$ es un automorfismo de $H$ por lo que, por supuesto, cualquier automorfismo de $H$ haría el trabajo. Si definimos un homomorfismo:

$\varphi: K \rightarrow Aut(H)$ ,

ese homomorfismo puede utilizarse en lugar de la conjugación izquierda por $k_1$ y volver a conseguir la misma forma de $hk$ . Reescribiendo la derivación anterior con la notación de producto directo y el homomorfismo definido, obtendríamos:

$(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1 \: \varphi(k_1)(h_2), k_1 k_2) = (h_3, k_3)$

donde $h_3 = h_1 \: \varphi(k_1)(h_2) \in H$ y $k_3 = k_1 k_2 \in K$ .

que es exactamente la definición de multiplicación del producto semidirecto que pides.