La topología de los complementos contables

Question

Tome la topología en $\Bbb R$ La línea real, que es, $\tau=\{A\subseteq\Bbb R\mid\Bbb R\setminus A\text{ is countable}\}\cup \{\varnothing\}$ . ¿Se puede encontrar una secuencia de convergencia en esta topología? Porque, tomemos una secuencia $\{a_n\}$ Y supongamos que $a=\lim a_n$ . Toma ahora el conjunto $\Bbb R\setminus\{a_n\}$ . Entonces se trata de una vecindad abierta de $a$ que no contiene nada de $\{a_n\}$ que es una contradicción...

Tengo la sensación de que me falta algo básico aquí, pero no puedo precisarlo.

Gracias, Shir

Answer 1

Tenga cuidado, si $a=a_n$ para algunos $n\in\Bbb N$ , entonces el conjunto $\Bbb R-\{a_n\mid n\in\Bbb N\}$ no contendrá $a$ mismo. Pero todavía puede tomar $(\Bbb R-\{a_n\mid n\in\Bbb N\})\cup\{a\}$ . Este es siempre un barrio de $a$ y si la secuencia no es eventualmente constante, entonces no está eventualmente en esta vecindad, por lo que no converge a $a$ . Así que las únicas secuencias convergentes son eventualmente constantes.

Obsérvese también que una secuencia convergente tiene un límite único, aunque el espacio $(\Bbb R,\tau)$ no es Hausdorff. Esto significa que tenemos un ejemplo de un espacio donde las secuencias no determinan completamente la topología. Por ejemplo, el conjunto $A:=[0,\infty)$ es secuencialmente cerrada (toda secuencia convergente en $A$ tiene su límite dentro de $A$ ) pero no cerrado.

Answer 2

La respuesta de Stefan es genial. Aquí hay un ejercicio relevante para su pregunta que creo que vale la pena pensar:

Ejercicio 1 : Dejemos que $\{a_n\}_{n\geq 1}$ sea una secuencia en la topología de complemento finito sobre $\mathbb{R}$ . ¿En qué condiciones $\{a_n\}_{n\geq 1}$ convergen y cuántos límites tiene?

La situación es, en algún sentido vago, "dual" al caso que estás considerando de la topología del complemento contable. Espero que este ejercicio te resulte divertido.