¿Forma irregular puede ser $f'$ más allá de Darboux ' s Teorema?

Question

Por el teorema de Darboux si $f:D\to\mathbb R$ es diferenciable, a continuación, $f'$ satisface el valor intermedio de la propiedad $-$, incluso si es discontinua. En particular, estoy interesado en los siguientes:

Suponga $f'(a)<f'(b)$ algunos $a<b$. Sabemos que, a continuación, $f'$ asume cada valor en el intervalo de $I=[f'(a),f'(b)]$ dentro $[a,b]$. ¿Esto implica que $(f')^{-1}\big(I\big)$ ha postive medida?

Intuitivamente parece que debe ser cierto; pero, ¿cómo demostrarlo? Esta pregunta está relacionada con un comentario que hice en este hilo.

Tenga en cuenta que si $g:D\to\mathbb R$ tiene el valor intermedio de la propiedad, pero no es la derivada de una función derivable, entonces puede ser bastante volátil, $-$ véase, por ejemplo, Conway base 13 de la función. Aquí, la pre-imagen de $I$ que sólo podría ser descrito como un desastre.

Algunas cosas relacionadas con:

• https://math.stackexchange.com/a/292380/99220
• Volterra de la función como un ejemplo de un muy mal comportamiento derivado (conjunto de discontinuidades de $V'$ tiene medida positiva).
• Cantores de la función (o más bien su integral) no es un contra-ejemplo desde la intersección de el complemento del conjunto de cantor con cualquier (abierto) intervalo contiene un (abierto) el intervalo.

Answer 1

Con estos supuestos, $(f')^{-1}(I)$ tiene medida positiva.

Supongamos que no, por lo $(f')^{-1}(I)$ tiene medida cero. Por la escala y la adición de una función lineal asumimos $I=[0,1],$ específicamente $f'(a)=0$ $f'(b)=1.$ vamos a construir una secuencia anidada de cerrado intervalos de $[a_n,b_n]$ de manera tal que la división de la diferencia de $d_n=\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}$ satisface $d\in(0,1/3)$ por extraño $n$ $d\in(2/3,1)$ incluso $n.$

Para empezar, si $f(b)-f(a)$ es positivo, por la continuidad que hay algunos $x\in (a,b]$ tal que $(f(x)-f(a))/(x-a) \in (0,1/3)$; en este caso, empezar a $n=1$ $a_1=a$ $b_1=x.$ Si $f(b)-f(a)$ es negativo, hay algunos $x\in [a,b)$$(f(b)-f(x))/(b-x)\in (2/3,1)$; en este caso, empezar a $n=0$ en lugar de $n=1,$ y tome $a_0=x$ $b_0=b.$

Supongamos que hemos construido $[a_n,b_n]$ $n$ incluso, por lo $d_n\in(2/3,1).$ Esto significa que el (Henstock-Kurzweil) valor promedio de $f'$ $[a_n,b_n]$ es de menos de $1.$ Desde $(f')^{-1}([0,1])$ tiene medida cero, hay algunos $x\in [a_n,b_n]$ $f'(x)<0.$ $(f(b_n)-f(x))/(b_n-x)$ o $(f(x)-f(a_n))/(x-a_n)$ es positivo, ya que los $d_n$ es una combinación convexa de estas proporciones. En el primer caso tomamos $a_{n+1}=x$ y tome $b_{n+1}\in(x,b_{n+1}]$ tal que $d_{n+1}\in(0,1/3),$ que existe por la continuidad. En el segundo caso se tome $b_{n+1}=x$ $a_{n+1}\in[a_n,x)$ tal que $d_{n+1}\in(0,1/3).$ Asimismo, dado $[a_n,b_n]$ $n$ impar, el mismo argumento se aplica a $x-f(x)$ da $[a_{n+1},b_{n+1}]$ $d\in(2/3,1).$

Esto completa la construcción de la secuencia de intervalos de $[a_n,b_n].$ Si $\lim (b_n-a_n)>0$ $d_n$ convergería a $(f(\lim b_n)-f(\lim a_n))/\lim(b_n-a_n).$ Si $\lim (b_n-a_n)=0$ $a_n$ $b_n$ convergen en algún punto en común $x,$ pero, a continuación, $d_n$ tendría que convergen a $f'(x).$ En ambos casos $d_n$ tiene que convergen sino que, por construcción, no.