Cálculo de una suma con una serie de Taylor.

Question

Tengo un problema con la función:$$f(x)= \ln[(1+3x)^{(1+x)}]$ $

Quiero encontrar su serie de Taylor (serie Maclaurin, porque está centrada en$x=0$), y usarla para calcular esta suma:$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-2n}{3^n n(n+1)}$ $

Entonces, conozco la serie de Taylor para$\ln(1+x)$, pero no sé cómo puedo aplicarla aquí, o si debo usar esa fórmula conocida.

Answer 1

De la expansión de la serie Maclaurin, uno tiene $$ \ ln (1 + x) = - \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} nx ^ n, \ quad | x | <1 , \ tag1 $$ one deduces $$ \begin{align} \ln[(1+3x)^{(1+x)}]&=(1+x)\ln(1+3x) \\\\&=-(1+x)\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n3^nx^n \\\\&=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n3^nx^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n3^nx^{n+1} \\\\&=3x-\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}n3^nx^n-\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}3^{n-1}x^{n} \\\\&=3x+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)}{n(n-1)}3^{n-1}x^n \\\\&=3x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)}{n(n+1)}3^{n}x^{n+1}. \tag2 \end {align} $$ Al poner$x=-\dfrac19$ en$(2)$, uno obtiene

$$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1-2n} {3 ^ nn (n +1)} = 3-8 \ ln \ frac 32. \ tag3 $$