La ley de Gauss es aplicable para un alambre finito. Pero, es inútil en este caso.
En el ejemplo infinito, se asumen algunas cosas debido a la simetría, a saber:
![entrar descripción de la imagen aquí]()
Es bastante obvio por qué se pueden asumir estas cosas: moverse arriba y abajo del alambre no debería cambiar $\vec E$, por lo que lo tomamos como constante. Además, no debería haber sesgo de dirección, por lo que $\vec E$ no tiene componente a lo largo del alambre.
De esta forma, $\oint \vec E.\mathrm dS\to\oint|\vec E|\mathrm dS_{curved}$ (ya que es perpendicular), y luego $\oint|\vec E|\mathrm dS_{curved}\to |\vec E| \oint\mathrm dS_{curved}$ (ya que es constante en un radio dado)
Una vez que E está fuera de la integral, podemos integrar fácilmente el término $\mathrm dS_{curved}$.
Por otro lado, para un alambre fini tenemos:
![entrar descripción de la imagen aquí]()
La simetría de traslación a lo largo del alambre se pierde (mientras la simetría bajo rotaciones y la simetría bajo reflexión a través del origen se conservan), y la forma de $\vec E$ no es predecible{*}.
Por lo tanto, no podemos eliminar el producto punto, y no podemos sacar $\vec E$ fuera de la integral. Dado que la integral es una integral cerrada, es un poco como una integral definida en el sentido de que no podemos simplemente diferenciar la ecuación para obtener una respuesta. Así que no podemos resolver la integral de la ley de Gauss, por lo que estamos atascados. Tienes que usar la ley de Coulomb y encontrarlo tomando elementos.
*$\vec E=\frac{k\lambda}{R}\left((sin\alpha+sin\beta)\hat e_r +(cos\alpha-cos\beta)\hat k\right)$. ¿Ves? No predecible.
