Dejemos que $K$ sea un espacio compacto de Hausdorff. Denotemos por $ca_r(K)$ el conjunto de todas las medidas de Borel contables y aditivas que son regular y de la limitación de variación . Dejemos que $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset ca_r(K)$ sea una secuencia acotada que satisface $\mu_n\geq 0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . ¿Podemos concluir que $(\mu_n)$ (o una subsecuencia) converge en la topología débil* a alguna $\mu\in ca_r(K)$ con $\mu\geq 0$ ?
Respuesta
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No podemos.
Dejemos que $K = \beta \mathbb{N}$ sea el Compactación de la piedra-Cech de $\mathbb{N}$ y que $\mu_n$ sea una masa puntual en $n \in \mathbb{N} \subset K$ . Supongamos lo contrario $(\mu_n)$ tiene una subsecuencia convergente débil-* $\mu_{n_k}$ . Definir $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ por $f(n_k) = (-1)^k$ , $f(n) = 0$ de lo contrario. Entonces $f$ tiene una extensión continua $\tilde{f} : K \to \mathbb{R}$ . Por convergencia débil-*, la secuencia $\left(\int \tilde{f} d\mu_{n_k}\right)$ debería converger. Pero en realidad $\int \tilde{f} d\mu_{n_k} = \tilde{f}(n_k) = (-1)^k$ que no converge.
Si $C(K)$ es separable, entonces la topología débil-* sobre la bola unitaria cerrada $B$ de $C(K)^* = ca_r(K)$ es metrizable. En particular, es compacto secuencialmente y en ese caso toda secuencia acotada de medidas regulares tiene una subsecuencia convergente débil-*. Como señala Andy Teich, basta con que $K$ sea un espacio compacto metrizable. Además, como existe una incrustación natural de $K$ en $B$ , si $B$ es metrizable entonces también lo es $K$ .
Cabe preguntarse si es posible que $B$ para ser secuencialmente compacto sin ser metrizable. No sé la respuesta pero sospecho que no es posible, es decir, que la metrizabilidad de $B$ (y por lo tanto $K$ ) es necesaria para la compacidad secuencial.
Sabemos (por el teorema de Alaoglu) que las bolas cerradas en $C(K)^*$ son débiles-* compactos, por lo que lo que podemos concluir en general es que $\{\mu_n\}$ tiene al menos un punto límite débil-*. Sin embargo, como muestra el ejemplo anterior, este punto límite no tiene por qué ser un límite subsecuente.
