La longitud de una cuerda de un círculo

Question

Me preguntaba acerca de los posibles valores que la longitud de una cuerda de un círculo puede tomar. La Longitud de una cuerda es siempre mayor o igual a 0 y menor o igual al diámetro (decird). Es posible sacar un acorde de longitud 'x', donde x puede ser cualquier número real? En otras palabras, ¿los acordes del círculo de tomar todos los posibles valores reales entre 0yd?

Cualquier ayuda/comentarios sería muy apreciada.

Answer 1

Esto se reduce a que el teorema del valor intermedio.

En el círculo de $x^2+y^2=1$, el acorde de $(1,0)$ $(\cos\theta,\sin\theta)$tiene una longitud de $2\sin\dfrac\theta2$. Se puede ver que por medio de la habitual "fórmula de la distancia".

Como $\theta$ $0$ $\pi$(o de $0^\circ$ $180^\circ$si te gusta), la cuerda se va de $0$ $2$y el acorde es un continuo de la función de $\theta$. El hecho de que es continua significa que usted puede aplicar el teorema del valor intermedio y ver que asume todos los valores intermedios.

Si no te gusta funciones trascendentes (tal vez debido a demostrar la continuidad de aquellos que tiene un montón de trabajo), también se puede hacer de esta manera: el punto de $$ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2}{1-t^2} \right) \tag 1 $$ continúa alrededor del círculo de$(-1,0)$$(-1,0)$$t$$-\infty$$+\infty$. La longitud de la cuerda de $(1,0)$ hasta el punto en $(1)$ también se puede encontrar a través de la fórmula de la distancia y el mismo tipo de argumento puede ser utilizado.

Tangencialmente (ningún retruécano previsto) relacionados es este: Ptolomeo de la tabla de acordes

Answer 2

Abrir un compás con la longitud deseada $x$, coloque la aguja en la circunferencia y dibuja un arco que interseque el círculo. Te puedes imaginar que nunca vas a cumplir ?

Answer 3

Sí. Hay varias maneras de demostrarlo.

A partir de los axiomas de la geometría Euclidiana: dibujar un círculo con un radio de $x$ y el centro de su círculo; ver donde los círculos se intersectan. (Euclides los axiomas son un poco incompleto - que en realidad no puede garantizar la intersección.)

Un argumento de continuidad: comience en un extremo del diámetro de su círculo y moverse hacia el otro extremo. La longitud de la cuerda varía constantemente, por lo que toma todos los valores entre a$d$$0$. Este argumento depende de la comprensión suficiente de la estructura de los números reales.

Answer 4

Sugerencia:$$\text{ chord length } = 2r\sin\bigg({\frac{\theta}{2}}\bigg)$$ where $r$ is the radius and $\theta$ es el ángulo subtendido en el centro de la cuerda. Nota la continuidad de la RHS, ahora utilice el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 5

La respuesta depende de que los axiomas que usted tiene. Si usted tiene cualquier axiomas que dan una medida tal que para cada número real positivo existe una línea de longitud que la respuesta es sí. Usted puede ver de la geometría de Hilbert (moder versione de la geometría euclidiana) y sus axiomas acerca de la continuidad y mesure