Dos preguntas relacionadas con dos series y convergencia.

Question

1)

Apliqué la prueba de Raabe en ambos y adiviné la respuesta como (B), pero no lo suficiente. ¿Hay un mejor enfoque?

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2) ¿Hay alguna forma cerrada de seguir la serie? Sin embargo, se sabe que la suma es irracional. (perdón por el formato pobre)

Answer 1

La serie de $(ii)$ diverge, ya que el valor absoluto de su $n$th término converge a 1 en lugar de 0.

La serie de $(i)$ diverge así. Para $x$ pequeña $\sin(x)=x+o(x^2)$ (recordemos que la serie de Taylor para $\sin(x)$ 0), por lo que el dado de la serie se comporta como la serie armónica, además de una serie convergente.

No se conoce la forma cerrada (en términos de primaria expresiones) para la serie. Sin embargo, puede ser expresado en términos de Jacobi de la theta de la función en $\displaystyle\frac{\vartheta_3(0,1/2)-1}2$.

(Una buena idea cuando se busca la forma cerrada expresiones numéricas de la serie es el primer intento es la maravillosa página para Plouffe del inversor.)