Ayuda sobre una definición

Question

En muchos libros me parece que estos dos definiciones de Ramsey ultrafilters, muy similares pero diferentes:

1)Para cada partición $\mathbb{N}=\bigsqcup A_k$ $A_k\not\in\mathcal{U}$ existe $X\in\mathcal{U}$ tal que $|X\cap A_k|=1$.

2)Para cada partición $\mathbb{N}=\bigsqcup A_k$ $A_k\not\in\mathcal{U}$ existe $X\in\mathcal{U}$ tal que $|X\cap A_k|\leq1$.

Y en muchas demuestra que estos libros de pasar de una de estas definiciones para el otro sin decir por qué se puede hacer eso. Así que yo creo que son equivalentes, pero no puedo demostrar que a pesar de que yo pienso que debe ser fácil, de lo contrario los libros que debería haber dedicado algunas palabras acerca de eso.

Answer 1

1 implica 2 es trivial.

Para la otra dirección, para todos los $A_k$que no cumplen los $X$ % elige un $a_k\in A_k$ y $X\cup{a_k\mid A_k\cap X = \emptyset}$. Es en el ultrafiltro según sea necesario.