Una extensión algebraica de un campo perfecto es un campo perfecto

Question

Me gustaría mostrar que una extensión algebraica de un perfecto campo es un campo perfecto, con el siguiente resultado:

Dado un campo $F$ y algunos de la familia de perfecto subcampos $\{F_i\}_{i \in I}$ tal que $F=\cup _{i\in I} F_i$, $F$ es un campo perfecto.

EDIT: UN perfecto campo se define como sigue: Cualquier campo de la característica $0$ es perfecto, y un campo de característica $p$ se dice perfecto si cualquier elemento $F$ $p^{th}$ poder de algún elemento en $F$.

He tratado de tomar algún elemento en la ampliación del campo y utilizando el hecho de que es algebraico sobre $F$ a fin de construir un perfecto subcampo que contiene el mencionado elemento, sin embargo no podía avanzar mucho.

Podría alguien darme alguna dirección hacia la solución?

Answer 1

Aquí hay algo que creo que funciona:

Deje $K/F$ ser una extensión algebraica. Sabemos que $K=\bigcup_{a\in K}F(a)$, por lo que es suficiente para demostrar cada una de las $F(a)$ es perfecto. Para cualquier extensión algebraica $L/F(a)$, $L/F$ es también algebraicas, y por lo tanto separables porque $F$ es perfecto. Así, para cualquier $b\in L$, el polinomio $\text{Irr}(b,F)$ es separable (es decir, no tiene raíces repetidas). Pero el polinomio $\text{Irr}(b,F(a))$ es un factor de $\text{Irr}(b,F)$ (por la definición de la propiedad de un mínimo de polinomios), por lo tanto también debe tener ninguna repetida raíces, es decir, ser separables. Por lo tanto, cualquier $b\in L$ es separable sobre $F(a)$, por lo tanto, cualquier algebraicas $L/F(a)$ es separable, por lo tanto $F(a)$ es perfecto.

Para ser honesto, me siento como que debo usar en algún lugar que $[F(a):F]$ es finito, pero en el momento en que el argumento anterior parece ok.