¿El volumen y superficie de la tubería?

Question

Un segmento de recta que gira alrededor de una curva con ángulo derecho desde el punto a al punto B. Me gustaría encontrar la región cerrada área de superficie y volumen que descubrió en la imagen.

Podría usted por favor me dan idea de cómo definir el volumen y el área de la superficie con las integrales ?

Es correcto que el volumen de la fórmula es como se muestra a continuación? $$V=\pi r^2\int _{x_1}^{x_2} dS=\pi r^2\int _{x_1}^{x_2} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$

No sé cómo definir la superficie de la forma?

ACTUALIZACIÓN: nota importante: el desplazamiento de las curvas que son los paralelos de una función no puede ser de funciones: Mis preguntas relacionadas con las funciones paralelas:

Funciones paralelas.

¿Cuál es el límite de la distancia a la base de la función si el offset de la curva es una función?

Muchas gracias por las respuestas y consejos.

Answer 1

Supongamos por el momento que su plano de la curva de $\gamma$ es parametrizada por longitud de arco: $$\gamma:\quad s\mapsto\bigl(u(s),v(s),0\bigr)\qquad(0\leq s\leq L)\ .$$ A continuación, el cuerpo de la tubería cuenta con la siguiente parametrización: $${\bf f}:\quad (s,t,\phi)\mapsto\left\{\eqalign{x&=u-t\dot v\cos\phi\cr y&=v+t\dot u\cos\phi\cr z&=t\sin\phi\cr}\right.\quad ,$$ y poner $t:=r$ obtener una parametrización de la superficie de la tubería. El uso de las fórmulas de Frenet $\ddot u=-\kappa\dot v$, $\ \ddot v=\kappa \dot u$, donde $\kappa=\kappa(s)$ indica que la curvatura de $\gamma$, obtenemos $$\eqalign{{\bf f}_s&=\bigl(\dot u(1-t\kappa\cos\phi)\dot v(1-t\kappa\cos\phi),0\bigr)\ ,\cr {\bf f}_t&=(-\dot v\cos\phi\dot u\cos\phi\sin\phi)\ ,\cr {\bf f}_\phi&=(\dot v t\sin\phi, -\dot u t\sin\phi, t\cos\phi)\ .\cr}$$ A partir de estas ecuaciones se calcula una $${\bf f}_\phi\times{\bf f}_s=(1-t\kappa\cos\phi)\bigl(-\dot v t\cos\phi,\dot u t\cos\phi, t\sin\phi\bigr)\ ,\qquad |{\bf f}_\phi\times{\bf f}_s|=t(1-t\kappa\cos\phi)\ ,$$ y $$J_{\bf f}={\bf f}_t\cdot({\bf f}_\phi\times{\bf f}_s)=t(1-t\kappa\cos\phi)\ .$$ La superficie de la tubería, ahora se calcula a $$\omega=\int_0^L\int_0^{2\pi}|{\bf f}_\phi\times{\bf f}_s|_{t:=r}\ {\rm d}(s,\phi)=2\pi r L\qquad\Bigl(=2\pi r\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ dx\Bigr)\ ,$$ y su volumen $$V=\int_0^L\int_0^r\int_0^{2\pi}J_{\bf f}(s,t,\phi)\ {\rm d}(s,t,\phi)=2\pi{r^2\over 2}L\qquad\Bigl(=\pi r^2\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ dx\Bigr)\ .$$

Estos cálculos muestran que su conjetura fórmulas son de hecho verdaderas: el aumento en El volumen y la superficie sobre la parte exterior de una curva de la tubería es exactamente compensado por la pérdida en el interior.

En todo esto hemos asume tácitamente que la ${\bf f}$ es inyectiva en la que se considera de dominio. Esto está garantizado mientras $\ r \kappa(s)<1$ $\ (0\leq s\leq L)$. Si esta condición no se cumple, tenemos la "superposición", es decir, el mapa de ${\bf f}$ producir el cuerpo de la tubería ya no es inyectiva. En este caso la integral de la $I:=\int_0^L\int_0^r\int_0^{2\pi}J_{\bf f}(s,t,\phi)\ {\rm d}(s,t,\phi)$ ya no es igual al volumen real de la tubería, pero es igual a un "ponderado" de volumen, donde cada elemento de volumen ${\rm d}(x,y,z)$ se cuenta tantas veces como sea cubierto por la representación. Calcular el volumen real será difícil en tal caso, en la medida en que uno podría tener que lidiar con piezas de sobre superficies de inflexión en el proceso.