¿Este polinomio tiene todas sus raíces distintas y real?

Question

Recientemente, me preguntaba sobre el siguiente problema: supongamos $n\geq 5$ y dejar

$$ P_n(x)=(x-1)(x-2)\ldots (x-n)-1 $$

Es cierto que $P_n(x)$ $n$ distintas raíces reales para cualquier $n\geq 5$ ? Revisé de arriba a $n=50$. No he encontrado nada más hasta el momento.

Answer 1

¿Qué sucede cuando usted evaluar esta en $x=0, 1, 1.5, 2, 2.5 \dots$? A continuación, utilice el teorema del valor intermedio.

En el número entero de puntos que el polinomio evalúa a $-1$. En la alternativa de puntos intermedios el valor es positivo, y usted consigue un par de raíces.

Si $n$ es incluso tiene valores positivos en$x=0$$x=n+1$, por lo que las raíces en la "final" para hacer el complemento completo.

Si $n$ es impar tiene un valor positivo en $x=n+1$ que hace lo mismo.

Answer 2

Deje $Q_n(x) = P_n(x) +1 $. Chect los valores en $Q_n(x)$ en puntos $\frac{i}{2}$$i = 1,3,5...,2n-1$. Los signos se alternan y el valor de $|Q_n(x)|$ será mayor que $1$. Así, el valor de $P_n(x)$ también alternan en estos puntos. Esto significa que no se $n$ raíces, entre estos puntos.