Comprender la independencia condicional de dos variables aleatorias dada una tercera

Question

Estoy leyendo el artículo de Wikipedia sobre independencia condicional . Parece que hay dos definiciones para la independencia condicional de dos variables aleatorias $X$ y $Y$ se le ha dado otra $Z$ :

1. Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son condicionalmente independientes dado un tercera variable aleatoria $Z$ si y sólo si son independientes en su distribución de probabilidad condicional condicional dada $Z$ . Es decir, $X$ y $Y$ son condicionalmente independientes independientes dado $Z$ si y sólo si, dado cualquier valor de $Z$ La distribución de distribución de probabilidad de $X$ es el mismo para todos los valores de $Y$ y la distribución de probabilidad de $Y$ es el mismo para todos los valores de $X$ .

2. Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son condicionalmente independientes dada una variable aleatoria $Z$ si son independientes dado $\sigma(Z)$ : el $\sigma$ -generada por $Z$ .

   Dos eventos $R$ y $B$ son condicionalmente independientes dado un $\sigma$ -Álgebra $\Sigma$ si $$\Pr(R \cap B \mid \Sigma) = \Pr(R \mid \Sigma)\Pr(B \mid \Sigma)\ a.s.$$ donde $\Pr(A \mid \Sigma)$ denota la expectativa condicional expectativa condicional de la función del evento $A$ dada la álgebra de sigma $\Sigma$ . Es decir,
   $$ \Pr(A \mid \Sigma) := \operatorname{E}[\chi_A\mid\Sigma].$$

   Dos variables aleatorias X e Y son condicionalmente independientes dado un $\sigma$ -Álgebra $\Sigma$ si la la ecuación anterior es válida para todos los $R$ en $\sigma(X)$ y $B$ en $\sigma(Y)$ .

Puedo entender la segunda definición, pero mis preguntas son:

1. ¿Qué significan las primeras definiciones en realidad? He intentado varias veces de leerla, pero no consigo entender lo que significa? ¿Puede alguien reformularlo utilizando un lenguaje riguroso y limpio, por ejemplo, escribiendo la definición en términos de algunas fórmulas?
2. ¿Concuerdan las dos definiciones entre sí? ¿Por qué?
3. AÑADIDO: Me preguntaba si lo siguiente es la forma correcta de entender la primera definición. Observe que $P(\chi_A \mid Z)$ se define como $E(\chi_A \mid Z)$ y por lo tanto es una variable aleatoria. Cuando la probabilidad condicional $P(\cdot \mid Z)$ es "regular", es decir, cuando $P(\cdot \mid Z)(\omega)$ es una medida de probabilidad para cada punto $\omega$ en el espacio muestral subyacente $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ¿la independencia condicional entre $X$ y $Y$ dado $Z$ significa que $X$ y $Y$ son independientes con respecto a toda medida de probabilidad definida por $P(\cdot \mid Z)(\omega), \forall \omega \in \Omega$ ? En caso afirmativo, ¿es la probabilidad condicional $P(\cdot \mid Z)$ ¿se garantiza que sea siempre "regular"? ¿De modo que no sea necesario escribir explícitamente este supuesto "regular"?

Gracias y saludos.

Answer 1

La primera definición es la informal, pero al mismo tiempo me parece bastante enrevesada.

Lo prefiero: X e Y son condicionalmente independientes con respecto a una determinada Z si

$P(X \; Y | Z) = P(X | Z ) P(Y | Z)$

Recordemos que condicionar una (o varias) variables al valor de otra, es (informalmente) lo mismo que restringir todo el universo a una parte de él. Entonces, si se da el valor de $Z$ Puedes pensar como si estuvieras definiendo nuevas variables que son las mismas que las incondicionadas pero que están restringidas a nuestro nuevo (más pequeño universo) $X' \equiv X | Z$ $Y' \equiv Y | Z$ La fórmula anterior indica simplemente que $X'$ y $Y'$ son independientes.

La primera definición dice lo mismo, pero aplicando (en palabras) la propiedad de que dos variables son independientes si sus probabilidades condicionadas son iguales a las incondicionadas: $A$ indep $B$ si $P(A | B ) = P (A)$