El problema de áreas congruentes en un triángulo.

Question

Se planteó un problema frente a mí y no pude resolverlo después de varios intentos-

Considere cualquier triángulo y se trazan 3 cevianas concurrentes desde cada uno de sus 3 puntos. Ahora, la figura formada tiene 6 sub triángulos - si las áreas de 3 sub triángulos alternos son iguales, entonces demuestre que el punto de concurrencia es el baricentro.

Answer 1

Supongamos que $\frac{BP_A}{P_A C}=\lambda$ y $\frac{CP_B}{P_B A}=\mu$. Por el teorema de Ceva, $\frac{AP_C}{P_CB}=\frac{1}{\mu\lambda}$. Además: $$ [BPP_A] = \frac{BP_A}{BC}[BPC]=\frac{BP_A}{BC}\cdot \frac{CP_B}{CA}[ABC] $$ por lo tanto $$ [BPP_A]=\frac{\lambda}{\lambda+1}\cdot \frac{\mu}{\mu+1}[ABC].$$ De manera similar, puedes calcular $[CPP_B]$ y $[APP_C]$ en términos de $\lambda,\mu,[ABC]$ y verificar que a partir de $[BPP_A]=[CPP_B]=[APP_C]$ se sigue que $\mu=\lambda=1$, es decir, $P\equiv G$.

Answer 2

Sea $P$ el punto de intersección dentro del $\triangle{ABC}$.

Sea $D$ el punto de intersección de $AP$ con $BC$, y sean $E,F$ los puntos en $AP$ tales que $AE\perp BE, AF\perp CF$ respectivamente.

Dado que $\triangle{APB}=\triangle{APC}$, tenemos que $BE=CF$ de lo cual sabemos que $\triangle{BED}$ y $\triangle{CFD}$ son congruentes, y entonces $BD=CD$. Por lo tanto, sabemos que $AP$ es la mediana.

También, de $\triangle{PBD}=\triangle{PCD}$, tenemos que $$\triangle{PBC}=2\triangle{PBD}.$$

De $\triangle{PAB}=\triangle{PBC}$, tenemos que $$\triangle{PAB}=2\triangle{PBD}$$ de lo cual se sigue que $AP:PD=2:1$.

Se deduce de esto que $P$ es el baricentro.