En $f(x) = 1 $ pertenecen al espacio de Hilbert del pozo cuadrado infinitamente profundo?

Question

Que el pozo cuadrado esté en el intervalo $(0,\pi )$ . Generalmente se postula que la función de onda de este sistema debe desaparecer en los puntos finales, es decir, $g(0)= g(\pi) = 0$ .

La función $f(x) \equiv 1 $ no cumple esta condición. Pero se puede expandir en términos de los estados propios $\{\sin n x \}$ ,

$$ f(x) = \frac{4}{\pi} \left(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{5}\sin 5 x + \ldots \right) .$$

Por lo tanto, debería pertenecer al espacio de Hilbert abarcado por los estados propios, ¿no?

Por otro lado, por la expansión, este estado tiene energía infinita, lo que lo hace como un estado inválido.

Answer 1

Generalmente, el espacio de Hilbert para el pozo cuadrado infinito se toma como $$ L_2([0,\pi]) = \left\{f:[0,\pi]\to \mathbb C \ \middle| \ |f|^2 \text{ is Lebesgue integrable, } \int_0^\pi|f(x)|^2\mathrm dx<\infty\right\}, $$ así que la respuesta es sí .

Por otro lado, su función no satisface las condiciones que exigimos al conjunto de físico estados en el pozo, ni pertenece al dominio del hamiltoniano, ambos subconjuntos estrictos del espacio de Hilbert.

Es un hecho incómodo que algunas* configuraciones en QM que implican espacios de Hilbert de dimensión infinita dan lugar a estados que viven en el espacio de Hilbert del problema pero que no estamos dispuestos a considerar como estados físicos. Esto es una consecuencia desafortunada del hecho de que nos gusta la propiedad de cierre bajo superposiciones infinitas de los espacios de Hilbert, pero las condiciones que nos gusta imponer a los estados para llamarlos "físicos" no se cierran bajo esas superposiciones infinitas. Así que, ya sabes, ugh. Pero es lo que hay, y hacemos lo posible por mantener las cosas tan bien etiquetadas como podemos.

*En realidad, por "algunos", quiero decir todo configuraciones en QM que implican espacios de Hilbert de dimensión infinita. Este comportamiento es genérico y aparece en todas partes: es fácil encontrar ejemplos.