Número de urnas con más de K bolas dentro.

Question

Tengo un problema de probabilidad que he simplificado hasta lo siguiente:

Dadas las bolas M que se lanzan aleatoriamente (uniformemente) en N urnas, ¿cuál es el número esperado de urnas que tienen más de K bolas adentro?

Answer 1

Comenzando con la combinatoria de la clase de los conjuntos con un tamaño de más de $K$ marcado encontramos

$$\def\textsc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}} \textsc{SEQ}_{=N}\textsc{SET}_{\le K}(\mathcal{Z}) +\mathcal{U} \times \textsc{SET}_{\gt K}(\mathcal{Z}))$$

y construir la generación de la función

$$G(z, u) = \left(u \exp(z) + (1-u) \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!}\right)^N.$$

La expectativa es que el dado por

$$\frac{1}{N^M} M! [z^M] \a la izquierda. \frac{\partial}{\partial u} G(z, u) \right|_{u=1} \\ = \frac{1}{N^{M-1}} M! [z^M] \a la izquierda. \left(u \exp(z) + (1-u) \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!}\right)^{N-1} \left(\exp(z) - \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!}\right) \right|_{u=1} \\ = \frac{1}{N^{M-1}} M! [z^M] \exp((N-1)z) \left(\exp(z) - \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!}\right) \\ = \frac{1}{N^{M-1}} M! [z^M] \left(\exp(Nz) - \exp((N-1)z) \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!}\a la derecha).$$

Simplificando,

$$N - \frac{1}{N^{M-1}} M! [z^M] \sum_{q=0}^K \frac{z^p}{q!} \exp((N-1)z) \\ = N - \frac{1}{N^{M-1}} M! \sum_{q=0}^K [z^{M-q}] \frac{1}{p!} \exp((N-1)z).$$

Aquí podemos suponer que $M\gt K$ porque tenemos cero por la inspección de lo contrario. Por lo tanto, tienen

$$N - \frac{1}{N^{M-1}} M! \sum_{q=0}^K \frac{1}{p!} \frac{(N-1)^{M-p}}{(M-q)!}$$

o

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ N - \frac{1}{N^{M-1}} \sum_{q=0}^K {M\elegir q} (N-1)^{M-q}.}$$

Podemos verificar esta fórmula por medio de la enumeración, que es se muestra a continuación.

con(planta);

ENUMX :=
proc(N, M, K)
 opción de recordar;
 local de res, parte, psize, mset, adm;

 res := 0;

 parte := firstpart(M);

 mientras que el tipo de pieza (`list`) 
 psize := nops(parte);
 mset := convert(parte, `conjunto múltiple`);

 adm :=
 nops(seleccione(ent -> ent > K, parte));

 res := res + adm * binomial(N, psize) *
 M!/mul(p!, p en parte) *
 psize!/mul(p[2]!, p en mset);

 parte := nextpart(parte);
od;

res/N^M;
end;

X := (N, M, K)
-> N - 1/N^(M-1)
*agregar(binomial(M,q)*(N-1)^(M-p), q=0..K);

Answer 2

Extender el método dado por el usuario a Henry en 119076, la probabilidad de que cada urna tiene más de $K$ bolas en el interior es

$1-\sum_{i=0}^{K}\frac{M^{i}(N-1)^{M-i}}{N^{M}}$

lo que significa que el número de contenedores que tienen más de K bolas en el interior sería $N$ veces la probabilidad de que una sola urna, o

$N(1-\sum_{i=0}^{K}\frac{M^{i}(N-1)^{M-i}}{N^{M}})$

Básicamente, se debe calcular la probabilidad de que una urna en la que se ha de tener 0, 1, 2, ... K bolas en el interior, y restar que la probabilidad de 1.