Sea $I \subset R$ sea un intervalo. Sea $f : I \to R$ sea una función continua.
Supongamos que $I := [a, b]$ . Supongamos que para todo $c, d \in [a, b]$ tal que $c < d$ existe $e \in [c,d]$ tal que $f(e) = f(a)$ o $f(e) = f(b)$ . Demostrar que $f$ es una constante.
Considere esta afirmación: Para todos $c \in [a,b], f(c) \in \{f(a),f(b)\}$
Supuse que demostrando esta afirmación podría demostrar que la función es constante, pero no lo consigo. ¿Alguna idea?
Procederemos por contradicción:
Supongo que quieres demostrar que la función es constante dado el enunciado
$c \in [a, b] \Rightarrow f(c) \in \{f(a), f(b) \}$
si ese es el caso, entonces obtenemos una función continua a un espacio discreto. Si la función toma más de un valor, la imagen de nuestra función será $ {f(a), f(b)}$ que está desconectado. Pero las funciones continuas conservan la conectividad.
Contradicción Q.E.D.
Supongo que aquí $f(c)\in[f(a), f(b)]$ . En caso contrario, la función es discontinua suponiendo $f(a)\neq f(b)$ .
Sí, suponiendo que $f(a) \neq (fb) $ significaría que es discontinua, que es precisamente la contradicción que estamos utilizando que de hecho $f(a)$ debe ser igual a $f(b)$ y la función es de hecho constante. [piensa en el hecho de que si al final ambos no fueran iguales, la función no sería constante de todos modos ]
Sea $c$ en $(a,b)$ y que $\epsilon$ sea un número real positivo tal que $[c-\epsilon,c+\epsilon]\subseteq[a,b]$ . Definir una secuencia de intervalos $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mediante la fórmula $I_n=[c-\frac{\epsilon}{n},c+\frac{\epsilon}{n}]$ . Por hipótesis, existe una secuencia de puntos $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $c_n\in I_n$ y $f(c_n)\in\{f(a),f(b)\}$ . Entonces $c_n$ tiende a $c$ y, por continuidad de $f$ tenemos que $f(c)\in\{f(a),f(b)\}$ . Así, por continuidad, $f$ es constante porque toma valores en un espacio discreto.
El conjunto $D:=f^{-1}(f(a))\cup f^{-1}(f(b))$ es cerrado por continuidad de $f$ y denso en $I$ por la propiedad especial. Claramente $D$ no interseca el conjunto abierto $I\setminus D$ . Por definición de denso, esto significa que $I\setminus D$ está vacía. Por lo tanto $I=D$ . Esto hace que $I$ la unión de los dos conjuntos cerrados no vacíos $f^{-1}(f(a))$ , $f^{-1}(f(b))$ . En $I$ es conexo, estos conjuntos deben solaparse, lo que significa que $f(a)=f(b)$ y en última instancia que $f^{-1}(f(a))=I$ es decir, $f$ es constante.
Es necesario utilizar la propiedad de valor intermedio de las funciones continuas.
Supongamos que $f(a) =f(b) $ . Si $f$ no es constante en $[a, b] $ entonces hay algún valor de $f$ que difiere de $f(a) =f(b) $ y supongamos que este valor $f(c) > f(a) $ (el caso $f(c) <f(a) $ se trata de forma similar). Por continuidad existe un intervalo de tipo $[c-\delta, c+\delta] $ donde todos los valores de $f$ son mayores que $f(a) $ . Y esto contradice las hipótesis dadas. Por lo tanto $f$ debe ser una función constante.
El caso cuando $f(a) \neq f(b) $ nos lleva a una contradicción como se muestra a continuación. Supongamos $f(a) <f(b) $ y elija $k$ tal que $f(a) <k<f(b) $ . Por propiedad de valor intermedio existe un $c\in(a, b) $ para lo cual $f(c) =k$ . Y por continuidad existe un intervalo de tipo $[c-\delta, c+\delta] $ donde todos los valores de $f$ se encuentran estrictamente entre $f(a)$ y $f(b) $ . Esta contradicción demuestra que debemos tener $f(a) =f(b) $ y como se ha mostrado anteriormente la función es constante.
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¿Es (o era) incapaz de demostrar el resultado a partir de su declaración, su declaración a partir de la información dada o ambas cosas?
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Esto último, en realidad. @PJTraill