Si , entonces .

Question

Creo que esto es cierto, ya que la $\square\otimes C$ es un functor, por lo que conserva el isomorfismo.

Pero lo que si consideramos el ejemplo, $\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$ no es isomorfo a $2\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$. Porque el último es trivial, mientras que la primera no lo es.

También podemos considerar la exacta secuencias: $$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2\to0,$$ donde el primer mapa es simplemente múltiples por 2, y $$0\to2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2\to0,$$ donde el primer mapa es el de la inclusión. Si nos tensor por $\mathbb{Z}_2$ lo vamos a conseguir $$\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\to0$$ y

$$(0\to)X\to\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\to0$$ respectivamente.

Al parecer, la primera de ellas es la famosa contraejemplo de la no-izquierda-exactitud de producto tensor. Pero el segundo inyectar un submódulo (ideal) para todo el módulo (anillo). Si $r\otimes m$ es 0 en $\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$, que, al parecer, es 0 en $2\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$. Así que tenemos a la izquierda la exactitud del producto tensor. Esta vez es extraño, ya que los dos exacta de las secuencias son isomorfos (wiki), ¿por qué me han resultado diferente?

Answer 1

$2\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$ no es trivial. Es trivial en el interior de $\mathbb Z \otimes \mathbb{Z}_2$, una sutil pero importante diferencia. La "prueba" de que usted podría tener en mente que es trivial sería

$$ 2n \otimes 0 = 0 \text{ and } 2n \otimes 1 = n \otimes 2 = 0 $$

pero $n \otimes 2$ es sólo un elemento de $2\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}_2$ si $n$ es incluso. De lo contrario, usted necesita el ambiente módulo de $\mathbb Z \otimes \mathbb{Z}_2$ a hacer sentido de ella.

En segundo lugar, para su exacta de las secuencias. Tenga en cuenta que el isomorfismo $2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es un mapa muy diferente del de la inclusión $2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$.

Así que si tomamos la secuencia exacta

$$ 2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2\to 0 $$

donde el mapa de la izquierda es la inclusión y tensor de la con $\mathbb{Z}_2$, se obtiene el siguiente diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} 2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 @>\text{inclusion}>> \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 @>>> \mathbb{Z}_2\otimes \mathbb{Z}_2 @>>> 0 \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ \mathbb{Z}_2 @>\times 2>> \mathbb{Z}_2 @>>> \mathbb{Z}_2 @>>>0 \end{CD} donde las filas son exactas y las flechas verticales son isomorphisms.

Que mapa $\mathbb{Z}_2 \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}_2$ en el fondo es el cero mapa. Para ver que este debe ser el caso, notemos que el isomorphisms $\to \mathbb{Z}_2$ son

$$ \begin{array}{ccc} 2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 & \longrightarrow & \mathbb{Z}_2 \\ 2n \otimes 0 &\longmapsto & 0 \\ 2n \otimes 1 & \longmapsto & n \bmod 2 \end{array} \qquad \text{y} \qquad \begin{array}{ccc} \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 & \longrightarrow & \mathbb{Z}_2 \\ n \otimes 0 &\longmapsto & 0 \\ n \otimes 1 & \longmapsto & n \bmod 2 \end{array} $$

Así el mapa en la parte inferior podemos calcular mirando la composición de la $\mathbb{Z}_2 \to 2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2$ e esta composición se lleva a $1 \mapsto 2 \otimes 1 \mapsto 2 \otimes 1 \mapsto 0$.

Answer 2

no son isomorfos como <span class="math-container">$2\mathbb{Z}$</span> <span class="math-container">$\mathbb{Z}_2$</span> y <span class="math-container">$\mathbb{Z}$</span> -módulos. Tome un generador de cada módulo y multiplíquelo por 2.