$\int _0^\infty f(x) $ existe y$f(x)$ es diferenciable, entonces existe$\lim _{x \to \infty} f '(x)$. Contador de ejemplo de esta declaración.

Question

Puede alguien darme un ejemplo contrario de la declaración de

Si $\int_0^\infty f(x) $ existe y $f(x)$ es diferenciable, a continuación, $\lim _{x \to \infty} f'(x)$ existe.

Mi intento: he pensado en uno. En primer lugar me dibujar $1/x^2$ en el primer cuadrante y $-1/x^2$ en el cuarto cuadrante. El área bajo las siguientes curvas son finitos.

1) $1/x^2$

2) $-1/x^2$

3) $x= 1$.

Ahora he dibujado número infinito de $y = x+c $ a distancias iguales en esa región. Luego me uní a esas infinitas líneas por algunos curva suave de modo que la curva sigue siendo diferenciable. Ahora creo que esta función puede ser un contra ejemplo.

Estoy subiendo una foto de mi intento. Puede alguien por favor, compruebe y, si es posible me sugieren una mejor función.

Answer 1

Sí, esto funciona perfectamente! Puede rigorizar este tipo de idea definiendo alguna función como

PS

(donde el exponente de $$\frac{\sin\left(x^{10}\right)}{x^2}$ es simplemente asegurarnos de que nuestra función oscile lo suficientemente rápido).