Resolver

Question

Estoy teniendo grandes problemas en la resolución de este:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}$$

Estoy tratando de resolver esto por horas, no hay solución a la vista. He intentado de muchas maneras en mi papel aquí, que conducen al absurdo o a la nada. Llegué a la conclusión de que tengo que usar la tercera fórmula binomial aquí, así que mi siguiente paso sería:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ lo

$$a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$$

Traté de expansión es así, lo que llevó a absolutamente nada. Estos son mis escritos a este:

Answer 1

<span class="math-container">$\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}=\frac{n+\sqrt{n}-n}{(n+\sqrt{n})^{2/3}+(n+\sqrt{n})^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}\leq \frac{\sqrt{n}}{n^{2/3}+n^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}=\frac{\sqrt{n}}{3n^{2/3}}\rightarrow 0$</span>

Answer 2

Enfoque alternativo donde no hacemos uso de la identidad de $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Tenemos que $$0< \sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}=\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n}}\cdot\frac{ \sqrt[3]{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}-1}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\leq \frac{1}{\sqrt[6]{n}}\cdot \frac{1}{3}.$$ donde hemos utilizado la de Bernoulli de la desigualdad $$(1+x)^r\leq 1+rx$$ con $r=1/3\in(0,1)$ e $x=1/\sqrt{n}$.

Se puede tomar desde aquí?

P. S. mediante este enfoque también somos capaces de encontrar
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left((n+\sqrt{n})^r-n^r\right)$$ para cualquier $r<1/2$. Tenga en cuenta que si reemplazamos $\sqrt[3]{\ }$ con decir $\sqrt[5]{\ }$ luego de la "algebraica" de manera que podría ser muy molesto!

Answer 3

En un primer orden expansión binomial <span class="math-container">$(1+x)^r=1+rx + o(x)$</span>, tenemos

<span class="math-container">$$\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}=\sqrt[3]{n}\, \left(1+\frac1{\sqrt n}\right)^\frac13=\sqrt[3]{n}+\frac{\sqrt[3]{n}}{3\sqrt n}+o\left(\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt n}\right)=\sqrt[3]{n}+\frac{1}{3n^\frac16}+o\left(\frac{1}{n^\frac16}\right)$$</span>

por lo tanto

<span class="math-container">$$\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}=\frac{1}{3n^\frac16}+o\left(\frac{1}{n^\frac16}\right)$$</span>

Answer 4

Como sugirió, \begin{align} \sqrt[3]{n+\sqrt n} - \sqrt[3]{n} &= \frac{n+\sqrt n - n}{(n+\sqrt n)^{2/3}+\sqrt[3]{n(n+\sqrt n)} + n^{2/3}}\\ &= \frac{\sqrt n}{(n+\sqrt n)^{2/3}+\sqrt[3]{n(n+\sqrt n)} + n^{2/3}}. \end {align} El término de más rápido crecimiento es evidentemente $n^{2/3}$ . Puedes terminar

Answer 5

Considera la función $f(x)=x^{1/3}$ . Por el teorema del valor medio hay un número $y\in (n, n+\sqrt n)$ tal que $$ f (n + \ sqrt n) - f (n) = f '(y) (n + \ sqrt n - n) = \ frac {y ^ { -2/3}} {3} \ sqrt n <n ^ {- 2/3} \ sqrt n = n ^ {- 1/6} \ a 0. $$