Folland ejercicio 3.17

Question

Deje $(X, \mathcal M, \mu)$ ser un número finito de medir el espacio, $\mathcal N$ un sub-$\sigma$-álgebra de $\mathcal M$, e $\nu = \mu|\mathcal N$. Si $f \in L^1(\mu)$existe $g \in L^1(\nu)$ (lo $g$ es $\mathcal N$medible) tal que $\int_E f d\mu = \int_E g d\nu$ para todos los $E \in \mathcal N$; si $g'$ es otro ejemplo de la función, a continuación, $g = g'$ $\nu$- .e. (En la teoría de la probabilidad, $g$ se llama la esperanza condicional de $f$ a $\scr{N}$.)

He logrado demostrar que esta afirmación es cierta por la definición de una medida $\lambda$ tal que $d\lambda = gd\nu$ y, a continuación, el uso de Lebesgue-Radon-Nikodym teorema. Ahora como una extensión del problema, quiero caracterizar $g$ en términos de $f$ cuando $\mathcal N = \{\emptyset, X\}$, y cuando se $\mathcal N=\{\emptyset, X, E, E^c\}$ para algunos $E\in\mathcal M$. Ahora no estoy seguro de cómo hacer el último bit, y completamente atascado aquí.

Me gustaría obtener un poco de ayuda sobre cómo afrontar la última parte.

Answer 1

Cuando $\mathcal{N} = \{\emptyset,X\}$, se puede comprobar que

$$g = \left( \frac{1}{\mu(X)}\int_X f \, d\mu \right) \mathbb{I}_X$$ (es decir, una función constante) que hace el trabajo.

Cuando $\mathcal{N} = \{\emptyset,E,E^c,X\}$, $$g = \left( \frac{1}{\mu(E)}\int_E f \, d\mu \right) \mathbb{I}_E + \left( \frac{1}{\mu(E^c)}\int_{E^c} f \, d\mu \right) \mathbb{I}_{E^c}$$ hace lo mismo.

Para comprender la construcción podemos pensar en un ejemplo concreto que es paralelo a su problema: digamos que usted es un diseñador de videojuegos de construcción de un mundo virtual con 7 mil millones de humanos. Usted quiere que ellos aproximado del mundo real de los humanos en términos de sus alturas físicas. Lo mejor que puedes hacer es para que coincida con cada ser humano en el mundo a un juego de vídeo humanos y hacer sus alturas corresponden (esto corresponde a la toma de $\mathcal{N}=\mathcal{M})$. Lo peor que podría hacer es hacer que cada juego de video humanos a la misma altura, con esa altura, siendo el promedio real de altura humana (¿qué otra cosa podría ser?) Una leve mejoría es dividir a los humanos virtuales en masculino y femenino, a continuación, hacer que todas las mujeres tienen el promedio de la mujer real de altura, y todos los hombres tienen el promedio de altura de los hombres. Estos dos últimos casos corresponden a su pregunta.

Por el camino, para asegurarse de que comprende la construcción, debe tratar el caso cuando se $\mathcal{N}$ es generado por una contables de la partición de $X$ (es decir, cuando $X = \sqcup E_i$ para $E_i$ medibles).