En los cursos de mecánica cuántica en ocw.mit.edu se dice que cualquier función de onda puede ser ampliado como una superposición de la eigenfunctions de cualquier observable, es decir la eigenfunctions forma un eigenbasis para nuestro espacio.
¿Sin embargo, si tomamos una base arbitraria de nuestro espacio, ese espacio es una eigenbasis corresponde a un observable? ¿En otras palabras, es cualquier base de un conjunto de eigenfunctions de algunos observables?
es cualquier base de un conjunto de funciones propias de algunos observables?
Esto depende de qué es exactamente lo que desea contar como un "observable" y lo que desea descartar.
El primer ejemplo que usted necesita considerar es simplemente la identidad del operador $\mathbb I$, por lo que cualquier valor distinto de cero vector es un vector propio con autovalor $1$. (Físicamente, esto se corresponde con el número de $1$ $-$ así, en el mismo sentido que las características observables en la mecánica clásica son funciones de $f(q,p)$ de la posición y el impulso, la identidad del operador corresponde a la función $f(q,p) \equiv 1$.) Así que la respuesta es sí, a pesar de que podría requerir lo que algunas personas consideran que es un 'trivial' observable.
En respuesta a esto, la próxima tentador paso es modificar la solicitud
es cualquier base de un conjunto de funciones propias de algunos no-constante observable?
que las reglas de la identidad del operador y sus múltiplos.
Una vez hecho eso, la respuesta es no. La forma en que ha enunciado, el conjunto de base no necesita ser ortogonal, y si la base no es ortogonal, entonces no es posible construir un hermitian operador con esa base como de sus funciones propias, ya que cualquier eigenbasis de un hermitian operador debe ser ortogonal.
(Que no es del todo cierto, como sucede, debido a que puede tener la no-ortogonal de vectores de la base en el interior de cualquier degenerado espacio propio, pero que nos devuelve el caso anterior - la observables sólo actúa como la identidad dentro de ese subespacio. En términos de la pregunta, es decir, que si la base $\beta$ es no-ortogonal pero contiene dos subconjuntos $\beta_1=\{u_i\}$ e $\beta_2=\{v_j\}$ que son mutuamente ortogonales, entonces usted puede construir un no-constante observable $A$ tal que $Au_i=u \: u_i$ e $A v_j = v\:v_j$ para dos números fijos $u$ e $v$. De nuevo, sin embargo, que es básicamente un trivial cop-out", y que no aporta nada nuevo que la identidad del operador no ya.)
Así, la v2 de la declaración debe ser corregido:
es cualquier base ortogonal de un conjunto de funciones propias de algunos no-constante observable?
Aquí la respuesta es sí: vamos a $\beta = \{ v_n : n=1,2,\ldots \}$ ser una contables ortonormales. (Y sí, tiene que ser contables si desea cualquier tiro en una solución viable.) Entonces existe un único lineal auto-adjunto del operador $A$ que se extiende $$ Un v_n = \frac1n v_n $$ a todo el espacio de Hilbert, y que el operador ha $\beta$ como su único eigenbasis sin degeneraciones en cualquier lugar.
Sin embargo, la solución anterior provocará un auto-adjunto del operador que (a pesar de que está perfectamente bien definidas matemáticamente) puede ser completamente inaccesible para cualquier imaginable experimento físico en su sistema, por lo que a su vez puede ser visto como particularmente no es satisfactoria. La solución es introducir el concepto de una físicamente accesible observables, que se construye partiendo de algunas conjunto de la base (por ejemplo, $\hat x$ e $\hat p$) y, a continuación, permitir que cualquiera de las combinaciones lineales, las facultades de los operadores existentes, y los conmutadores de los operadores existentes. (Esto representa un cambio en el pensamiento, que está bien ejemplificada en el cambio entre §2.3.1.b y §3.2.1.una de arXiv:1211.5627.)
Así que, con eso, usted puede pedir
es cualquier base ortogonal de un conjunto de funciones propias de algunos no-constante físicamente accesible observable?
y aquí la respuesta es no, hay algo perfectamente razonable sistemas perfectamente razonable estado de los espacios y perfectamente razonable álgebras de características observables, que permiten perfectamente razonable bases que no son eigenbases de cualquier observable en la opción de álgebra. (Sin embargo, lamentablemente, no tengo ejemplos concretos en la mano. Pero dentro de esa definición estrecha, se hace por una buena pregunta de seguimiento si quieres publicar.)
Así que, ¿cuál es la respuesta? Sí. Y no. Dependiendo de lo que quieres decir con "la base" y por "observables".
En otras palabras, es cualquier base de un conjunto de funciones propias de algunos observables?
EN general, no, ya que requieren que los físicos observables tienen ciertas propiedades. Matemáticamente hablando, sin embargo, una función puede ser expresada en cualquier base ortogonal, pero eso no quiere decir que la base es físicamente significativa.
Una función de onda puede escribirse como una combinación lineal de cualquier bien definida (es decir, es ortonormales), y por supuesto, en principio, uno puede definir un operador que corresponde a la base. Sin embargo, este operador no corresponde necesariamente a una física observable. Por ejemplo, en el ejemplo del potencial de oscilador armónico, podemos expresar la función de onda del sistema como una superposición coherente de los estados, sino que el operador te gustaría definir a partir de la base de coherente estados (subir o bajar), operador hace no representan un físico observable.
Así que, formalmente hablando, requerimos que los físicos observables ser Hermitian, por lo que su correspondiente base ortonormales sobre un intervalo y sus autovalores son reales-valores (por lo que proporcionan un valor real expectativa de valores). Este es un axioma de la teoría de la mecánica cuántica.
Probablemente no, pero puede depender de lo que significa un observable.
Cualquier hermitian operador tendrá una completa base de un conjunto de funciones propias. Algunos hermitian operadores se han encontrado para ser asociado con las características observables. Los operadores que representan a las características observables se requiere para ser hermitian porque deben de tener una expectativa real de los valores.
Cualquier suma lineal de hermitian operadores también sería hermitian, y si se hace de observables que cantidad podría también ser observado. Estoy seguro de cómo demostrar que el conjunto de posibles completar las bases de los estados es mayor que la que se podría construir a partir lineal arbitraria de las sumas de los actuales observables, pero usted probablemente puede demostrar que.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
