¿Cuántas de las ecuaciones de Maxwell se pueden recuperar de la divergencia cero del tensor de tensión-energía?

Question

Como motivadora ejemplo, considere el campo electromagnético estático definido por $\textbf{E}=(\text{const})x\hat{\textbf{y}}$, $\textbf{B}=0$. El estrés de la energía tensor para este campo es de $T=\operatorname{diag}(u,-u,u,-u)$, donde $u$ es la densidad de energía. La divergencia de esta tensión-energía tensor es distinto de cero, ya que $\partial T^{xx}/\partial x\ne 0$. Este campo también viola las ecuaciones de Maxwell, ya que la curvatura es distinto de cero, pero no hay tiempo-campos magnéticos variables que podrían inducir a un rizado de campo eléctrico.

Si partimos de las ecuaciones de Maxwell, podemos demostrar que la divergencia de $T$ es cero, el cual es una declaración de conservación de la energía-impulso. Hasta qué punto podemos ir por el camino opuesto? I. e., podemos empezar desde

$\qquad(\operatorname{div} T=0$) y otros atractivos principios)

y derivar las ecuaciones de Maxwell? (Todo esto es suponiendo que la tensión de la energía tensor tiene la forma que ya sabemos para el campo electromagnético, por lo que es simétrica, tiene cero de seguimiento, etc.) Si no, entonces, ¿qué es un buen contraejemplo que proporciona más conocimiento? Yo sería feliz con un debate que estaba restringido al vacío ecuaciones de campo.

Answer 1

1. La notación. El Lagrangiano de la densidad sin fuentes en E&M es $$ {\cal L}_0~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \tag{1}$$ con $$ F_{\mu\nu}~:=~A_{\nu,\mu}-A_{\mu\nu}, \qquad \frac{\partial{\cal L}_0}{\partial A_{\mu\nu}}~=~ F^{\mu\nu}.\la etiqueta{2} $$ Nca. (1) y (2) son sólo para explicar la notación para más tarde. No estamos realmente va a utilizar eq. (1) para derivar la ecuación de Maxwell, cf. OP de la pregunta del título.

2. El estrés de energía-impulso (SEM) del tensor. En E&M, la canónica SEM tensor es$^1$ $$ \Theta^{\mu}{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}_0+F^{\mu\alpha}A_{\alpha,\nu} \qquad\Rightarrow\qquad 0~\aprox~d_{\mu} \Theta^{\mu}{}_{\nu}~=~d_{\mu}F^{\mu\alpha}~A_{\alpha, \nu},\etiqueta{3}$$ mientras que el simétrica SEM tensores $$ T^{\mu}{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}_0+F^{\mu\alpha}F_{\nu\alpha}\qquad\Rightarrow\qquad 0~\aprox~d_{\mu} T^{\mu}{}_{\nu}~=~d_{\mu}F^{\mu\alpha}~F_{\nu\alpha}.\la etiqueta{4}$$

3. Así que la rhs. de la nca. (3) y (4) debe ser cero. Si $A_{\alpha, \nu}$ o $F_{\nu\alpha}$ genéricamente se invertible $4\times 4$ matrices, podemos concluir que las ecuaciones de Maxwell (de Gauss ley + de Maxwell-ley de Ampere) $$ d_{\mu}F^{\mu\nu}~\approx~0.\tag{5}$$

4. Las otras ecuaciones de Maxwell (ley de Faraday y no hay monopolos magnéticos) son automáticamente satisfecho ya que suponemos que el 4-medidor de potencial $A_{\mu}$ existe, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

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$^1$ Algunas referencias, por ejemplo, Weinberg QFT,por el contrario las convenciones de anotación para $T$ e $\Theta$. Aquí estamos usando $(-,+,+,+)$ Minkowski convención de signos, y el trabajo en las unidades en donde $c=\epsilon_0=\mu_0=1$. El $\approx$ símbolo significa un shell de igualdad, es decir, la igualdad modulo MOE.