Problema del templo japonés desde 1844

Question

Recientemente he aprendido Japonés geometría templo problema.

El problema es el siguiente:

Cinco plazas que se organizan como muestra la imagen. Demostrar que el área del triángulo T y la zona de la plaza de S son iguales.

Este es el problema 6 en este artículo. Estoy pensando en la ley de los cosenos, pero no he sido capaz de demostrar el teorema. Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Vamos, en primer lugar, demostrar una propiedad muy interesante

$\mathbf{Lemma\;1}$

Dadas dos plazas de PQRS y PTUV (como se muestra en la imagen), los triángulos $\Delta STP$ e $\Delta PVQ$ tienen igual área.

$\mathbf {Proof}$

Denotar por $\alpha$ el ángulo de SPT y por $[...]$ el área del polígono "...". Por lo tanto $$[\Delta STP]=\frac{\overline {PS}\cdot\overline {PT}\cdot \sin(\alpha)}{2}$$ $$[\Delta PVQ]=\frac{\overline {QP}*\overline {PV}\cdot\sin\Bigl(360°-(90°+90+\alpha)\Bigr)}{2}=\frac{\overline {QP}\cdot\overline {PV}\cdot\sin\Bigl(180°-\alpha\Bigr)}{2}=\frac{\overline {QP}\cdot\overline {PV}\cdot\sin(\alpha)}{2}$$

Desde $\overline {PS}=\overline {PQ}$ e $\overline {PT}=\overline {PV}$ $$[\Delta STP]=[\Delta PVQ]$$

Ahora, de vuelta al problema

Deje $\overline {AB}=a$ e $\overline {IJ}=b$. Nota primera de todas las que $$\Delta BEC \cong \Delta EIF$$ Ver ¿por qué? $\mathbf {Hint:}$

Es obvio que $\overline {CE}=\overline {EF}$. Utilizar las propiedades de los triángulos rectángulos con el fin de mostrar que todos los ángulos son iguales.

Por lo tanto $${(\overline{CE})^2}={a^2}+{b^2}=S$$

Nota además de que $$[\Delta BEC]=[\Delta EIF]=\frac{ab}{2}$$ Por El Lema 1: $$[\Delta DCG]=[\Delta BEC]=\frac{ab}{2}=[\Delta EIF]=[\Delta GFK]$$ El área del polígono AJKGD es así $$[AJKGD]=[ABCD]+[CEFG]+[FIJK]+4[\Delta DCG]=2\Bigl({a^2}+{b^2}\Bigr)+2ab$$

El área del trapecio AJKD es además $$[AJKD]=\frac{(a+b)(2a+2b)}{2}={a^2}+2ab+{b^2}$$

Finalmente $$T=[\Delta DKG]=[AJKGD]-[AJKD]={a^2}+{b^2}=S \Rightarrow S=T$$

Answer 2

PS

PS

(Este espacio fue intencionalmente dejado en blanco.)

Answer 3

Debido a que hay tantas plazas, las coordenadas son fáciles de calcular.

El área del cuadrado sombreado es claramente $u^2+v^2$.

El área de la sombra de un triángulo es la mitad del valor absoluto del determinante de la matriz

$$\left[ \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2u-v & 3u & 2u \\ 3u+v & u+3v & u+v \end{array} \right]$$

que también es $u^2+v^2$.

Answer 4

Los cuatro triángulos adyacentes a $S$ (dos de ellos a la derecha, dos de ellos obtuso), todos tienen la misma área. (Cada uno tiene la misma base y altura que el del lado opuesto de la plaza, mientras que los dos triángulos rectángulos son congruentes.). Ahora gire cada uno de los triángulos obtusos por $90^\circ$ , de modo que son adyacentes a $T$, como se muestra.

Lo que ahora necesita ser demostrado es que el sombreado dos pentágonos tienen igual área. Esto puede hacerse mediante la observación de que cada pentágono se descompone en un isósceles triángulo rectángulo y un trapecio. El derecho de triángulos isósceles son congruentes; los trapecios tienen igual área como sus dos bases son las mismas y sus alturas son el mismo.

Answer 5

Mientras que las otras soluciones son obviamente correcta, también son innecesariamente complicados.
Desde el ángulo de las plazas no se especifica, debe ser cierto para todos los ángulos, de modo que* ¿por qué no elegir uno que es fácil de trabajar y los resultados en un caso de degeneración.

*) La asunción de la verdad no es necesaria ya que, primero, mostrar que S=T es, en realidad, la verdadera (en un caso simple) y de la falda de las reglas a partir de ahí dejando la extrapolación para el lector.
Si bien este enfoque es el más adecuado para resolver puzzles, buscar en el borde de los casos la primera es una forma rápida de desvirtuar las cosas, por ejemplo, o, al menos, comprobar que sus cálculos son correctos