$SU(2)$ Yang-Mills EOM

Question

Estoy teniendo problemas con algunos índices en mi lagrangiano de yang-mills. Tengo un grupo gauge $SU(2)$ y un tensor de intensidad de campo $$ F_{ab}^{i}=\partial_{a}A^{i}_{b}-\partial_{b}A^{i}_{a}+\epsilon^{i}_{\,\,jk}A^{j}_{a}A^{k}_{b}$$ y un lagrangiano $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{ab}^{i}F_{i}^{ab}$$ Tengo al final del ejercicio que los MOE correctos son $$\partial^{a}F_{ab}^{i}+\epsilon^{ij}_{\;\;\;k}A^{a}_{j}F^{k}_{ab}=0$$ Estoy obteniendo el primer término de la izquierda, pero el segundo término estoy obteniendo algo ligeramente diferente, en cambio, cuando golpeo el lagrangiano con $\partial \mathcal{L}/\partial A_{a}^{i}$ Tengo un término $\epsilon^{i}_{\,\,jk} A_{b}^{k}F_{i}^{ab}$ que deja libre un $j$ índice. Ahora sé que los índices sumados no importan y pueden cambiar de letra libremente, pero el orden y la contracción sí importan, ahora no estoy seguro de cómo hacer que salga con índices coincidentes. Cuando hago $\partial_a \partial \mathcal{L}/\partial (\partial_{a}A_{b}^{i})$ Salgo con el típico $\partial_a F^{ab}_{i}$ pero mi índice libre allí es $i$ no $j$ y no puedo conseguir que coincidan por mi vida.

Answer 1

Sin ver los detalles de cómo estás tomando la derivada, no puedo estar seguro, pero mi primer pensamiento es preguntarme si estás haciendo un uso múltiple de los índices. Por ejemplo, supongamos que usted toma la derivada con respecto a $A_a^i$ ; obtendrá

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a^i} = -\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial A_a^i}\bigl[F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i} F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}\bigr] = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}$$

En el proceso de evaluación $\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}$ Los índices del numerador no se contraen con los del denominador, pero es fácil no darse cuenta si no se tienen los colores para distinguirlos.

Yo sugeriría que cuando etiquetes el campo con el que estás diferenciando, utilices índices que no aparezcan en ninguna parte del Lagrangiano, así:

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_c^n} = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{ab}^{i}}{\partial A_c^n}F_{i}^{ab} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{i}^{ab}}{\partial A_c^n}F_{ab}^{i}$$

Así no hay peligro de contraer accidentalmente los índices equivocados. Cuando llegues al nivel de diferenciar campos individuales, acabarás con algunos deltas de Kronecker,

$$\frac{\partial A_a^i}{\partial A_c^n} = \delta_a^c \delta_n^i$$

Si está diferenciando un campo contravariante, puede utilizar la métrica para subir y bajar los índices según sea necesario,

$$\frac{\partial A_i^a}{\partial A_c^n} = \frac{\partial}{\partial A_c^n}\delta_{im}g^{ad}A_d^m = g^{ac} \delta_{in}$$

$\delta_{im}$ es la métrica para $SU(2)$ espacio de configuración, si no recuerdo mal.