Epsilon delta prueba; delta restrictiva.

Question

He estado tratando de hacer algo de $\epsilon -\delta$ pruebas, pero sigo corriendo en problemas con respecto a ciertas medidas. Es decir, puedo traer la prueba a un punto que es casi completa, pero para completar lo que tendría que colocar una restricción en $\delta$ a hacer la siguiente desigualdad verdadera (como$x^2+y^2≤\sqrt{x^2+y^2}$$\sqrt{x^2+y^2}≤1$).

Si yo tuviera $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$$ Está bien para restringir mi $\delta$ (como $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta<1$) porque mi límite está en el disco de $\sqrt{x^2+y^2}<1$?

Si llego a un punto en el que me tendría que hacer eso, he hecho algo mal?

¿Hay algún paso extra que debo hacer que me estoy perdiendo?

Answer 1

La respuesta corta sería: No, no has hecho nada mal. Y he aquí por qué:

La definición de límite se dice que por cada $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$, de tal manera que... etc. Si usted realiza cualquier (extra) limitaciones en lo $\delta$ puede ser, entonces nada va mal. En su ejemplo, digamos que usted elija $0 < \delta < 1$ y, a continuación, usted consigue lo que usted desea. Eso está bien, porque eso significa que un adecuado $\delta > 0$ definitivamente existe y eso es realmente todo lo que necesitamos.

Así que, sí, usted puede colocar cualquier restricción en $\delta>0$ que desee.

N. B. Sólo asegúrese de que usted mantenga $\delta > 0$. Por lo que la restricción $\delta \le 0$, no estaría bien por ejemplo. Esto va sin decir, sin embargo.