¿Está aumentando una función con primeras derivadas parciales no negativas?

Question

Supongamos que$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ es una función multivariable$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que para todas las derivadas parciales,$1\le i \le n$,

PS

para todos $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(q_1,q_2,\ldots,q_n) \ge 0$.

¿La función fa no disminuye en el conjunto de todos los puntos$q_i \ge r_i$ para todos$q_i \ge r_i$?

Edición: Por "no disminuir", quiero decir que$1\le i \le n$ si$f(q_1,q_2,\ldots,q_n) \ge f(r_1,r_2,\ldots,r_n) $ para todos i.

Además, ¿es cierto lo contrario? ¿Una función que es 'no decreciente', según mi definición, también tiene todas las primeras derivadas parciales positivas?

Answer 1

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Si todas las derivadas parciales son no negativos, entonces sí: $f(q_1,q_2,\ldots,q_n) \ge f(r_1,r_2,\ldots,r_n) $ si $q_i \ge r_i$ para todo i. Y lo contrario también es cierto.

Para la primera pregunta, tomar un paseo de$r$$q$, uno de coordinar a un tiempo: $(r_1,r_2,\ldots,r_n)$$(q_1,r_2,\ldots,r_n)$$\ldots$#%. Ninguno de estos pasos puede disminuir el valor de $(q_1,q_2,\ldots,q_n)$.

Para el segundo (conversar) pregunta, simplemente ignore todas las coordenadas a excepción de uno, y es fácil ver que la derivada parcial con respecto a que coordinar debe ser no negativo.