Dominio de la función Gamma

Question

Necesito encontrar el dominio de la función Gamma, es decir todos $z \in \mathbb{C}$ para la cual la integral:

$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \mathrm dt$$

converge. Empecé dividiendo la integral en una integral que va desde $0$ a $1$ y otro de $1$ a $\infty$ . Primero traté de averiguar para qué $z \in \mathbb{C}$ la integral de $0$ a $1$ converge y llegué a la conclusión de que $\Re(z) > 0$ es la condición.

La otra integral, creo, converge para cada $z$ , ya que la función exponencial domina al monomio eventualmente. Así que concluí:

$$\exists \Gamma(z) \iff \Re(z) > 0$$

Sin embargo, acabo de enterarme de que esto es un error. He descubierto que la integral sólo diverge para los enteros no positivos. ¿Qué he hecho mal o cuál es una forma mejor de encontrar el dominio de la función Gamma?

Answer 1

La integral converge si $\Re z > 0$ . Sin embargo, define una función que puede extenderse analíticamente a todo el plano complejo excepto a los enteros no positivos.

Existen representaciones integrales análogas para $\Gamma(z)$ que son válidos para $\Re z < 0$ . Por ejemplo, no es difícil demostrar que para cualquier $k\in\mathbb N$ $$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1}\left(e^{-t}-1+t-\frac{t^2}{2!}+\dots+ (-1)^{k+1}\frac{t^k}{k!}\right)dt,$$ donde $-k < \Re z < - k+1$ (la integral de Cauchy-Saalschütz).

Answer 2

Elaborando la respuesta de Andrey:

Hay algunas preguntas similares ( Q1 y Q2 por ejemplo) relacionados con la convergencia/divergencia de la integral estándar rep de $ \Gamma (s)$ en este sitio, así que pensé que podría ser útil para aquellos que están familiarizados con el análisis complejo básico mirar una integral extendida rep para $\Gamma (s)$ que está relacionado con las singularidades de la función, es decir, el Integral de Cauchy-Saalschütz que Andrey destaca.

Para entender la convergencia de las series de Taylor reales, hay que fijarse en el dominio complejo y en las singularidades (con suerte, sólo polos simples a lo sumo) de la función que representa. Lo mismo puede aplicarse a las integrales sobre la recta real, así que primero haz una expansión de fracción parcial de la rep de Euler/Gauss ( Ecuación 6.1.2 en Abramowitz y Stegun, pg. 255; también Artículo de la MOE ) de $\Gamma (s)$ en el plano complejo y observe los polos simples en $s=0, -1, -2, ...$ , consistente con la identidad $\frac{1}{s!(-s)!}=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}$ . Entonces, si te sientes cómodo con la transformada de Mellin, puedes escribir fácilmente una representación integral de parte finita de Hadamard para las secciones entre los polos:

Para $-n<\Re(s)=\sigma<-(n+1)$ la transformada inversa de Mellin da

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty } \Gamma(s) x^{-s}ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\frac{\pi }{\sin \left ( \pi s \right )}\frac{x^{-s}}{(-s)!}ds$$

$$=\exp(-x)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}+ ... + \frac{(-x)^n}{n!}\right),$$

y, por tanto, la transformada de Mellin asociada da

$$\Gamma (s)=\mathrm{FP}\int_{0}^{\infty }x^{s-1}\exp(-x)dx = \int_{0}^{\infty }x^{s-1}\left[\exp(-x)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}+ ... + \frac{(-x)^n}{n!}\right)\right]dx.$$

A grandes rasgos, las singularidades en el límite inferior $x=0$ de $\frac{x^{s+m}}{s+m}$ para $m=0, -1, ..., -n$ se restan.

Para $\Re(s)=\sigma>0$ se obtiene la integral estándar rep.