Cómo resuelves $x^2 - 4 \equiv 0 \mod 21$

Question

Hay un ejemplo en mi libro de texto de como solución: $$x^2 -4\equiv 0 \mod 21 \Leftrightarrow x^2-4\equiv 0 \mod 3 \times 7$ $ y luego 2 congruencias pueden ser formadas fuera de esta ecuación si:$$ x^2-4\equiv0 \mod 3 \ x^2-4 \equiv 0 \mod 7 y de estos 2 congruencias congruencias más 2, para cada uno: $$x - 2 \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow x_1 = 2\ x + 2 \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow x_2 = 1\ x - 2 \equiv 0 \mod 7 \Rightarrow x_3 = 2\ x + 2\equiv 0 \mod 7 \Rightarrow x_4 = 5

y entonces se forman los 4 sistemas de Congruencias lineales: $$\begin{cases} x \equiv 2 \mod 3 \ x \equiv 2 \mod 7\end{cases}$ $$$ $$\begin{cases} x \equiv 2 \mod 3 \ x \equiv 5 \mod 7\end{cases}$$ $$\begin{cases} x \equiv 1 \mod 3 \ x \equiv 2 \mod 7\end{cases}$ $$$ $$\begin{cases} x \equiv 1 \mod 3 \ x \equiv 5 \mod 7\end{cases}$$

¿Cuál es el propósito de estos sistemas? Ya tengo las 4 soluciones ($x_1, x_2, x_3, x_4$) de la congruencia. ¿Por qué necesito formar estos sistemas?

Answer 1

Es necesario $x^2\equiv 4\pmod{3}$y $x^2\equiv 4\pmod{7}$. Por ejemplo, no satisface a su $x_2=1$ $x_2^2\equiv 4\pmod{21}$.

Usar o en lugar de y.

Answer 2

Sus soluciones de' 4' no son soluciones modulo $21$, sino pares de soluciones $\bmod3$ por un lado, $\bmod 7$ por otro lado.

Estos pares de soluciones, recuperar soluciones modulo $3\times 7$ con el Teorema chino del resto.

Partir de la relación de Bézout $\;5\cdot 3-2\cdot 7=1$. Entonces la solución correspondiente al par $(\color{red}1\bmod3,\color{red}5\bmod7)$, por ejemplo, será %#% $ #%