Ejemplo de espacio vectorial topológico

Question

¿Es un espacio topológico del vector tales que para cada $x\in X$, hay un barrio correcta $V$ $x$ $X$ que es convexa, pero todo el espacio no es localmente convexo (es decir, $X$ tiene una base local que consta de conjuntos convexos en cada uno de sus puntos)?

Answer 1

Para $0 < p < 1$, vamos

$$\ell^p(\mathbb{N}) = \Biggl\{ x \colon \mathbb{N}\to \mathbb{C} : \sum_{n = 0}^\infty \lvert x(n)\rvert^p < +\infty\Biggr\}.$$

Nos dotan de la $p$-seminorm

$$s_p(x) = \sum_{n = 0}^\infty \lvert x(n)\rvert^p$$

y la métrica $d_p(x,y) = s_p(x-y)$ derivado de la misma.

Nota la diferencia con el caso de $p \geqslant 1$. Si $p > 1$, uno debe tomar la $p^{\text{th}}$ root para tener el triángulo de la desigualdad, y se obtiene una normativa, por lo tanto localmente convexo, el espacio. Para $p < 1$, teniendo la $p^{\text{th}}$ raíz de destruir el triángulo de la desigualdad y por lo tanto obtenemos un espacio que no es localmente convexo.

$s_p$ es similar a la de una norma, pero satisface $s_p(\lambda x) = \lvert\lambda\rvert^p\cdot s_p(x)$ en lugar de la homogeneidad de una norma.

El triángulo de la desigualdad se sigue de

$$a^p + b^p \leqslant (a+b)^p\tag{1}$$

para$a,b \geqslant 0$$0 < p < 1$. Para $a = 0$ o $b = 0$ que es inmediata, y para $a,b > 0$ tenemos $\frac{a}{a+b}, \frac{b}{a+b} \in (0,1)$, por lo que

$$1 = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} < \biggl(\frac{a}{a+b}\biggr)^p + \biggl(\frac{b}{a+b}\biggr)^p,$$

de dónde $(1)$. La traducción de la invariancia de $d_p$ e las $p$-homogeneidad asegurarse de que la inducida por la topología de un espacio vectorial topología:

$$d_p(x+y,x_0+y_0) = s_p\bigl((x-x_0)+(y-y_0)\bigr) \leqslant s_p(x-x_0) + s_p(y-y_0) = d_p(x,x_0) + d_p(y,y_0)$$

muestra que la adición es uniformemente continua, y

$$\begin{align} d_p(\lambda x,\lambda_0 x_0) &= s_p(\lambda x - \lambda_0 x_0) \\ &= s_p\bigl((\lambda-\lambda_0)x_0 + \lambda_0(x-x_0) + (\lambda - \lambda_0)(x-x_0)\bigr)\\ &\leqslant s_p\bigl((\lambda-\lambda_0)x_0\bigr) + s_p\bigl(\lambda_0(x-x_0)\bigr) + s_p\bigl((\lambda-\lambda_0)(x-x_0)\bigr)\\ &= \lvert\lambda -\lambda_0\rvert^p\cdot s_p(x_0) + \lvert\lambda_0\rvert^p\cdot d_p(x,x_0) + \lvert\lambda-\lambda_0\rvert^p\cdot d_p(x,x_0) \end{align}$$

muestra la continuidad de la multiplicación escalar en $(\lambda_0,x_0)\in \mathbb{C}\times \ell^p(\mathbb{N})$.

Estos espacios no son localmente convexo: Definir el "estándar de la unidad de vectores" $e_k$ por

$$e_k(n) = \begin{cases} 1 &, n = k\\ 0 &, n \neq k.\end{cases}$$

A continuación, $s_p(e_k) = 1$ todos los $k$, y por el $p$-homogeneidad $y_k := (\varepsilon/2)^{1/p}\cdot e_k \in B_\varepsilon(0)$$\varepsilon > 0$. Pero con $x_N = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1} y_k$, tenemos

$$s_p(x_N) = N\cdot\frac{\varepsilon}{2N^p} = N^{1-p}\frac{\varepsilon}{2} \xrightarrow{N\to\infty} +\infty,$$

así que no $d_p$-bola contiene el casco convexo de cualquier otro $d_p$-ball.

Sin embargo, hay un montón de convexo abierto conjuntos, ya que la inclusión de $\iota_p \colon \ell^p(\mathbb{N}) \hookrightarrow \ell^1(\mathbb{N})$ es continua.