¿Es Hamilton ' principio s compatible con el principio de la relatividad?

Question

El principio de Hamilton en mecánicos clásicos es fundamental. Indica que la trayectoria real de una partícula extremize la acción

$$ \int_{t_1}^{t_2} d \tau L (q , \dot{q}, \tau ) . $$

En este formalismo, tiempo tiene un estado diferente de espacio.

¿El problema es a continuación, es compatible con la relatividad?

Answer 1

1. Sí, el principio de acción estacionaria, $$\delta S~=~0,\tag{1}$$ también conocido como el de Hamilton principio$^1$ (donde $$S~=~\int \! \mathrm{d}t~ L, \qquad L~=~\int \! \mathrm{d}^3x~{\cal L}, \tag{2}$$ es el Lagrangiano de acción funcional) puede ser manifiestamente covariante Lorentz y/o manifiestamente generalmente covariante, si la teoría subyacente respeta estas simetrías.

2. Sobre relativista punto de partículas, existen estacionaria principios de acción con manifiestamente reparametrization invariante en el mundo parámetro de línea, cf. por ejemplo, este, este, este, este, y este Phys.SE posts y enlaces en el mismo.

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$^1$ A pesar del nombre, el de Hamilton principio es parte de la Lagrangiana (en lugar de la de Hamilton) la formulación. Sobre el relativista estado de Hamitonian formulaciones, ver también esta relacionada con Phys.SE post y los enlaces en el mismo.

Answer 2

Hay maneras de meter la relatividad en este formalismo, pero está complicado, enrevesado, y rara vez se utiliza.

Mucho más habitual es sustituir el Lagrangiano con un Lagrangiano densidad - funcional en los campos de $\mathcal{L}(\partial_\mu \varphi, \varphi, x, t)$ donde $\partial_\mu \varphi$ denota una derivada parcial del campo de $\varphi(x, t)$ con respecto a la variable $\mu$, que abarca más de $x, y, z,$$t$. La densidad Lagrangiana es una de Lorentz-escalar del campo y por lo tanto de Lorentz-invariante. En principio, el Lagrangiano $L(t)$ sí es un espacio integral de la densidad Lagrangiana ($L(t) = \int d^3x\ \mathcal{L}(x, t)$), y la acción $S$ es la integral en el tiempo de la Lagrangiana como de costumbre ($S = \int dt\, L(t)$). Pero el Lagrangiano $L$ es marco-dependiente, por lo que en la práctica es mucho más agradable conceptualmente a ir a la derecha desde el Lagrangiano de la densidad de la acción mediante la integración de más de espacio-tiempo ($S = \int d^3x\ dt\ \mathcal{L}(x, t)$) - resulta que esta integral es de Lorentz-invariante. Así que todo lo que se expresa en términos de local, Lorentz-covariante campos, y el espacio y el tiempo de derivadas e integrales son tratados en igualdad de condiciones.

Por ejemplo, una densidad Lagrangiana para un relativista escalar campo $\varphi(x, t)$ es $$ \mathcal{L}(\partial_\mu \varphi, \varphi) = \frac{1}{2} \sum_{\mu = x, y, z, t} \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2.$$ En relativista, la teoría cuántica de campos, las excitaciones de este campo escalar corresponden a partículas con una masa dada por el parámetro de $m$.

Answer 3

Para la teoría de campo, en su lugar debe utilizar la densidad lagrangiana $$S=\int_\Omega d^4x \mathcal L (\phi,\partial \phi)\;.$ $ (se puede añadir también $\partial \partial \phi$)

En el espacio-tiempo curvo generalizada a $$S[\phi]=\int\Omega d^4x \sqrt{-g} \mathcal L (\phi,\partial \phi)\equiv \int\Omega d^4x \tilde {\mathcal L} (\phi,\partial \phi)\;,$ $ donde tilde indica que es una densidad escalar. La ecuación de Euler-Lagrange Lee %#% $ #%

Para el campo gravitacional $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} - \nabla\mu(\frac{\partial \mathcal L}{\partial {\nabla\mu\phi}}) =0\;.$ la acción es %#% $ #%