¿cómo demostrar que la siguiente matriz es invertible?

Question

Cómo demostrar que A es invertible o $\ detA\neq 0$ $$A=\begin{pmatrix} \frac11 & \frac12 & \frac13 & \cdots & \frac1n \\ \frac12 & \frac13 & \frac14 & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac1n & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix}$$

Gracias de antemano

Answer 1

Es una matriz simétrica definida positiva.

Como tal, se puede diagonalizar, y sus valores propios son todos reales y positivos. Por tanto, su forma diagonalizada es no singular, y como es similar a una matriz no singular... ¡es no singular!

Answer 2

Esta es la Matriz de Hilbert que es un caso especial de Matriz de Cauchy . El determinante viene dado por $$\dfrac{\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} k!\right)^4}{\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1} k!}$$