Pushouts de homotopía a través de la estructura del modelo en la parte superior

Question

Hasta donde yo sé, una manera de tomar un homotopy colimit en un modelo de la categoría es reemplazar (hasta acíclicos fibration) todas las flechas en el diagrama con cofibrations, y tomar la estricta colimit de la resultante de diagrama.

En la parte Superior con la estructura del modelo dado por Serre fibrations, cofibrations, y la debilidad de equivalencias, si uno quiere obtener un homotopy pushout del diagrama de $X \leftarrow A \rightarrow Y$, es "suficiente" para reemplazar sólo una de estas flechas con un cofibration: es decir, no es una forma natural de mapa (por la característica universal de la pushout) $Cyl(X)\cup_A Cyl(Y) \to Cyl(X) \cup_A Y$ que es un homotopy equivalencia de los espacios.

Pregunta 1: ¿Qué condiciones sobre el modelo de la categoría $\mathcal{C}$ (u objetos)$X,Y,A$) se garantiza que el natural mapa de $Cyl(X) \cup_A Cyl(Y) \to Cyl(X) \cup_A Y$ es un débil equivalencia?

Pregunta 2: Esta pregunta es menos preciso, pero si el mapa de arriba es un débil equivalencia, ¿eso quiere decir $Cyl(X) \cup_A Y$ es un buen modelo para el homotopy pushout?

Answer 1

Pregunta 1: El modelo de la categoría $\mathcal{C}$ debería ser de izquierda adecuada, es decir, el pushout de un débil equivalencia a lo largo de un cofibration es de nuevo un débil equivalencia. (Doblemente, existe una noción de derecho adecuado.) La parte superior izquierda es la correcta, como lo es cualquier modelo de la categoría en la cual cada objeto es cofibrant, tales como SSet. Hay algo de información sobre esta noción de propio en el nlab, y creo que también se discute más a fondo en Hirschhorn el libro de Categorías de Modelo y sus Localizaciones (y probablemente en muchos otros lugares).

Pregunta 2: Sí. La gente suele decir que una plaza en un modelo de la categoría es un homotopy pushout plaza a la inducida por el mapa de la (estricto) de pushout de un cofibrant de reemplazo (significado cofibrant objetos y mapas) de la "inicial" tres objetos para el último objeto es un débil equivalencia, y que es el caso aquí.

Answer 2

(Voy a suponer que en un modelo general de la categoría $\mathcal{C}$, $\mathrm{Cyl}(X)$ en realidad significa: la factorización de $A\to X$ en un cofibration $A\to \mathrm{Cyl}(X)$, seguido por una trivial fibration $\mathrm{Cyl}(X)\to X$.)

Una condición suficiente en los objetos por el mapa en la pregunta 1 para ser un débil equivalencia, es que los objetos $X,Y,A$ ser cofibrant. (El hecho de que usted desea utilizar es la declaración debido a Reedy (que se puede encontrar en el inicio del capítulo sobre el Modelo Adecuado Categorías en Hirschhorn del libro), que un pushout de un débil equivalencia entre cofibrant objetos a lo largo de un cofibration es un débil equivalencia.)

Una condición suficiente en $\mathcal{C}$ para el mapa en cuestión de 1 a ser un débil equivalencia, es el modelo de una categoría a la izquierda adecuada.

Es un hecho interesante que en la parte Superior, esto también funciona si $\mathrm{Cyl}(X)$ se refiere a los "clásicos" de asignación de cilindro de la construcción ($X$ unión de un cilindro en $A$), lo cual no necesariamente es cofibration en el Quillen la estructura del modelo. La más pulida de la prueba es el uso de la "excisive tríada teorema", como lo demuestran Mayo en Un Consise Curso de Topología Algebraica, p.79. Esto también conduce a una prueba de que la parte Superior izquierda es la correcta.