Cuál es la interpretación de este operador de campo: $\vec{X} = \int \pi \vec{x} \phi \operatorname{d}^3 x$ ?

Question

En la teoría del campo cuántico escalar, el operador de momento del campo se construye a partir de los operadores de campo canónicos, $\phi$ y $\pi$ en la ecuación: $$P_j = -\int \pi \partial_j \phi \operatorname{d}^3x.$$

Siempre y cuando los operadores de campo obedezcan las relaciones de conmutación de tiempo igual, $\left[ \phi\left(\vec{x}\right),\pi\left(\vec{y}\right)\right] = i \delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right)$ es posible demostrar que el siguiente operador: $$X_j = \int \pi x_j \phi \operatorname{d}^3x ,$$ obedece a la relación de conmutación $[X_j,P_k] = i\delta_{jk}$ .

En detalle: $$\begin{align} X_j P_k & = -\int \pi(y) y_j \phi(y) \operatorname{d}^3y \int \pi(x) \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x) \operatorname{d}^3x \\ & = -\int \operatorname{d}^3 x \operatorname{d}^3 y \left(\pi(y) y_j \left[i \delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right) +\pi(x) \phi(y)\right] \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x)\right) \\ & = -i \int \operatorname{d}^3 x\, \pi(x) x_j \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x) \\ &\hphantom{=} - \int \operatorname{d}^3 x \operatorname{d}^3 y\, \left(\pi(x) \frac{\partial}{\partial x_k}\left[-i\delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right) + \phi(x) \pi(y) \right] y_j \phi(y)\right)\\ & = -i \int \operatorname{d}^3 x\, \pi(x) x_j \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x) + i \int \operatorname{d}^3 x \operatorname{d}^3 y\, \pi(x) \frac{\partial}{\partial x_k} \delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right) y_j \phi\left(\vec{y}\right) + P_k X_j\\ & = -i \int \operatorname{d}^3 x\, \pi(x) x_j \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x) - i \int \operatorname{d}^3 x \operatorname{d}^3 y\, \pi(x) \frac{\partial}{\partial y_k} \delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right) y_j \phi\left(\vec{y}\right) + P_k X_j\\ & = -i \int \operatorname{d}^3 x\, \pi(x) x_j \frac{\partial}{\partial x_k} \phi(x) + i \int \operatorname{d}^3 x \operatorname{d}^3 y\, \pi(x) \delta\left(\vec{x}-\vec{y}\right) \frac{\partial}{\partial y_k} \left[ y_j \phi\left(\vec{y}\right)\right] + P_k X_j\\ & = i \delta_{jk} + P_k X_j . \end{align}$$

¿Cuál es la interpretación física de $X_j$ ?

Answer 1

1. Como Cosmas Zachos comentarios, el hecho de que su $X_j,P_i$ cumplen las mismas relaciones de conmutación que los operadores de posición y momento no relativistas habituales no es sorprendente. El mapa $\mathcal{o}\mapsto \mathcal{O} := \int \pi \mathcal{o} \phi\mathrm{d}x$ para un operador $\mathcal{o}$ en la representación de la posición es una variante de dimensión infinita de la Mapa de Jordania , $\mathcal{o}$ siendo considerada como una "matriz de dimensión infinita".

2. $X_j$ es un "operador de posición" con respecto al $P_i$ en el corte de tiempo elegido sólo en la medida en que cumpla la relación de conmutación correcta en ese lapso de tiempo . Sin embargo, no se comporta correctamente bajo las transformaciones de Poincaré ya que le falta una componente zeroth para que sea un vector 4 adecuado. Para el $P_i$ el Hamiltoniano $H = P^0$ cumple naturalmente esta función, utilizando $p^0 = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ para escribir $P^\mu = \int p^\mu a^\dagger(\vec p) a(\vec p)\mathrm{d}^3 \vec p$ . Esto no es posible para el $X_j$ - no hay operador de tiempo. Por lo tanto, su definición del $X_i$ depende del marco y no es propiamente covariante; por lo tanto tienen no hay "interpretación física" en una teoría de campo totalmente relativista. Todo lo que se construye en el formalismo hamiltoniano ingenuo de la QFT relativista debe comprobarse en cuanto a sus propiedades de covarianza; es crucial y a priori no trivial que las derivaciones habituales realizadas en los libros de texto arrojen resultados covariantes mientras se utilizan pasos no covariantes.

3. Intentar hacer la construcción de operadores de posición $[X_i,P_j] = \mathrm{i}\delta_{ij}$ La covariante de Lorentz está generalmente condenada al fracaso, véase por ejemplo esta respuesta de Valter Moretti y los enlaces correspondientes.

Answer 2

Interpretación de $X_j$ como operador de posición parece contradecir la interpretación de $\phi^2(x)$ como una densidad de probabilidad - nótese que éste es un campo escalar real, por lo que la conjugación compleja es innecesaria, pero un desarrollo paralelo es posible para un campo escalar complejo. La respuesta es: sí, y eso es porque la densidad de probabilidad correcta no está dada por $\phi^2(x)$ para un campo escalar libre.

Si definimos la transformada espacial de Fourier de una función como $\tilde{f}(\mathbf{k}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \operatorname{d}^3 x\, f(\mathbf{x}) \operatorname{e}^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ (es decir, convención simétrica), entonces el campo libre de Klein-Gordon los operadores de aniquilación del espacio de momento están dados por: $$\begin{align} a(k) &\equiv \sqrt{\frac{\omega}{2 }} \left(\tilde{\phi}(\mathbf{k}) + \frac{i}{\omega} \tilde{\pi}(\mathbf{k})\right)\\ \omega &\equiv \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}, \end{align}$$ dando un Hamiltoniano: $$H = \int \operatorname{d}^3 k\, \omega \left(a^\dagger(\mathbf{k})\, a(\mathbf{k}) + \frac{1}{2} \left[a(\mathbf{k}),\, a^\dagger(\mathbf{k})\right]\right).$$ El hamiltoniano conduce directamente a la definición del operador de número de partículas como $$N = \int \operatorname{d}^3k\, a^\dagger(\mathbf{k})\, a(\mathbf{k}).$$ Retrocediendo para escribir esto en términos de los operadores de campo del espacio real: $$\begin{align} N & = \int \operatorname{d}^3k\, \frac{\omega}{2}\left(\tilde{\phi}^2(\mathbf{k}) + \frac{1}{\omega^2} \tilde{\pi}^2(\mathbf{k}) + \frac{i}{\omega}\left[\tilde{\phi}(\mathbf{k}),\, \tilde{\pi}(\mathbf{k})\right]\right). \end{align}$$ Esta expresión para $N$ es idéntico, clásicamente, a $\int \tilde{\pi}(\mathbf{k}) \tilde{\phi}(\mathbf{k}) \operatorname{d}^3k = \int \pi(\mathbf{x}) \phi(\mathbf{x}) \operatorname{d}^3x$ . La relación se desprende de la caída clásica de los conmutadores y de la aplicación de las ecuaciones del movimiento: $$\begin{align} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} &= \nabla^2 \phi - m^2 \phi \Rightarrow \\ i \frac{\partial \phi}{\partial t} & = \sqrt{m^2 - \nabla^2} \phi,\ \mathrm{and} \\ \pi & = \frac{\partial \phi}{\partial t}. \end{align}$$

Por lo tanto, dado que la interpretación de la probabilidad de la mecánica cuántica de la "primera cuantificación" de vainilla es clásica con respecto a la teoría cuántica de campos, no es exagerado decir que la densidad de probabilidad para una partícula de Klein-Gordon en $\mathbf{x}$ viene dada por $\pi(\mathbf{x}) \phi(\mathbf{x}) = \dot{\phi}(\mathbf{x})\phi(\mathbf{x})$ y no $\phi^2(\mathbf{x})$ .