En general, es curioso:
Sea un conjunto de funciones:
¿La suma de las derivadas de las funciones será igual a la derivada de las sumas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Renan
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Para sumas finitas, no hay problema.
Para la suma infinita la respuesta es no. Se puede considerar, por ejemplo, $$ f(x):=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2^nx)}{n^2}, \quad x \in [0,\pi/2] $$ que converge normalmente sobre $[0,\pi/2]$ : $$ \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{\sin(2^nx)}{n^2}\right|\leq \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}<\infty. $$ Pero, para $x \in [0,\pi/2]$ , $$ \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n\cos(2^nx)}{n^2} $$ no existe ya que para $x \in [0,\pi/2]$ , $$ \lim_{n \to \infty}\frac{2^n\cos(2^nx)}{n^2}\neq 0. $$
Luísa Borsato
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Sí, para conjuntos finitos de funciones diferenciables. No necesariamente para conjuntos incluso contables.
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¿Suma finita? Claro. ¿Infinita? No necesariamente.
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El caso finito es una aplicación directa de la propiedad análoga de los límites (lo que tiene sentido ya que la definición de la derivada es un límite).
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Además de las otras respuestas, la afirmación, por supuesto, falla en general para cualquier conjunto finito de arbitrario funciones. Tomemos la función de Dirichlet y su inversa. Sea $f_1(x)$ sea $1$ para $x$ racional y $0$ para $x$ irracional, y que $f_2(x)$ sea $0$ para $x$ racional y $1$ para $x$ irracional. La derivada de su suma es cero en todas partes, pero la suma de sus derivadas no existe.