Cómo mostrar el Río de la Selva Métrica es Completa

Question

Actualmente, estoy luchando por demostrar que la Selva del Río de la Métrica es completa más de $R^2$. De manera más general, sin embargo, estoy teniendo problemas para comprender el enfoque que uno debe tomar cuando prooving integridad.

Pregunta específica: Acreditar el Río de la Selva Métrica, que se define como $$d((x,y),(x',y')) = |y|+|y'|+|x-x'|$$ if $x \neq x'$. and $$d((x,y),(x',y')) =|y-y'|$$ if $x = x'$.

Mi enfoque hasta ahora: Así que, yo sé que un espacio métrico es completo si cada Cauchy espacio en la secuencia converge. Por lo que yo entiendo, quiero definir un general de Cauchy Secuencia $(x_n,y_n)_{n \in N}$ y, a continuación, probar que el límite de esta secuencia de Cauchy está dentro de mi espacio métrico. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo proceder a partir de ahí.

He tratado de dibujo abierto de bolas en mi espacio métrico con la esperanza de un poco de inspiración. He encontrado que el abrir las bolas en este espacio métrico son diamantes centrada alrededor del eje x, con las posibles líneas verticales que se extiende hacia arriba y hacia abajo en función del radio de la pelota. Sin embargo, no veo cómo esto puede ayudar a mí. Siento, por favor, hágamelo saber si estoy equivocado, pero entiendo lo que significa ser completa, pero no entiendo cómo específicamente para empezar a demostrar que lo que yo sé de las necesidades de ser cierto, es cierto. Cualquier consejo o sugerencia será muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Sugerencias: en Primer lugar probablemente ayuda a entender la métrica de la siguiente manera: es la longitud del camino más corto dado que sólo podemos viajar verticalmente en cualquier $x$ valor, o horizontalmente a lo largo de $y=0$ (supongo que se supone que vamos a imaginar una horizontal río a lo largo de $y=0$ con muchos vertical afluentes).

Tenga en cuenta que $d((x,y),(x',y'))\geq d_1((x,y),(x',y'))$ donde $$ d_1((x,y),(x',y'))=|x-x|+|y-y'| $$ es la métrica inducida por la norma $\|\cdot\|_1$. Suponiendo que usted ya sabe $\mathbb R^2$ es completa wrt $d_1$, esto significa una secuencia que es de Cauchy wrt $d$ también es de Cauchy wrt $d_1$, y por lo tanto converge a algunos $(x,y)$ wrt $d_1$. Si $y\neq0$, usted debería ser capaz de demostrar que $x_n=x$ $n$ lo suficientemente grande.

Answer 2

Hay un par de trucos que se pueden emplear para resolver este problema. En primer lugar, dado que esta métrica parece incorporar la norma métrica Euclidiana en $\mathbb{R}$ (es decir, la distancia entre el$a,b\in\mathbb{R}$$|a-b|$), se debe utilizar el hecho de que $\mathbb{R}$ es completa con respecto a esta métrica. Esto es útil porque podemos ver las secuencias de $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $(y_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $\mathbb{R}$ y el uso de sus límites para encontrar un límite para$\{(x_n,y_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$$(\mathbb{R}^{2},d)$.

Otro truco que es útil en general métrica del espacio es el hecho de que si un subsequence de una secuencia de Cauchy converge, entonces la secuencia de Cauchy converge (para el mismo límite de la larga). Una prueba de esto ver aquí. Esto es útil para este indicador, $d$ desde podemos considerar dos casos que provienen de los dos escenarios de la definición de la $d$. Usted no tiene que usar este truco, pero hacen que dividir el problema en casos un poco más fácil.

Supongamos $S=\{(x_n,y_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}^{2}$ con respecto al $d$. Sólo tenemos que demostrar que una larga de $S$ converge.

Supongamos primero que nos podemos encontrar en $x\in\mathbb{R}$ tal que $x_{n}=x$ para infinidad de $n\in\mathbb{N}$. A continuación, podemos encontrar una larga $S'=\{(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\}_{k \in \mathbb{N}}$ $S$ $x_{n_{k}}=x$ todos los $k$. Como $S$ es de Cauchy, por lo que es $S'$. Por lo tanto, para cada una de las $\varepsilon>0$, podemos encontrar $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tal que $$d((x_{n_{k}},y_{n_{k}}),(x_{n_{k'}},y_{n_{k'}})) =|y_{n_{k}}-y_{n_{k'}}|<\varepsilon$$ holds for all $k,k'\geqslant N_{\varepsilon}$. This shows that the sequence $(y_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence in $\mathbb{R}$ (with respect to the usual Euclidean metric). As $\mathbb{R}$ is complete, we can find $y\in\mathbb{R}$ such that $(y_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ converges to $y$ in $\mathbb{R}$. It is now easy to show that $(x,y)$ is the limit in $(\mathbb{R}^{2},d)$ for $S'=\{(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\}_{k \in \mathbb{N}}$.

Veamos ahora el caso de que tal subsequence de $S$ no existe. En otras palabras, para cada una de las $x\in\mathbb{R}$, hay sólo un número finito $n\in\mathbb{N}$ tal que $x_{n}=x$. Mediante la sustitución de $S$, con una larga, por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que el $x_{n}$ son todos distintos. Como antes, para cada una de las $\varepsilon>0$, podemos encontrar $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tal que $$d((x_{m},y_{m}),(x_{n},y_{n})) =|y_{m}|+|y_{n}|+|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon$$ holds for all $m,n\geqslant N_{\varepsilon}$.

Observar a partir de esta desigualdad que $y_{n}\rightarrow0$$n\rightarrow\infty$. Además, esta desigualdad muestra que $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$, y así se convierte para algunos límite de $x\in\mathbb{R}$. A continuación, es fácil mostrar que $(x,0)$ es el límite en $(\mathbb{R}^{2},d)$ $S$ (tener cuidado de comprobar ambos casos, en la definición de $d$).