Delimitación $I(x)=\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^2\exp(t)}{2}\mathrm dt$

Question

Supongamos que $\forall x \in \mathbb{R}$, $I(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}{\dfrac{(x-t)^2\exp(t)}{2}\,\mathrm dt}$.

Sin el cálculo de $I(x)$ ¿cómo puedo probar que:

• $\forall x \ge 0$, $\quad0\le I(x) \le \dfrac{\exp(x)x^3}{6}$;
• $\forall x\le0$, $\quad |I(x)|\le \dfrac{|x|^3}{6}$.

Answer 1

SUGERENCIA: $\exp(t)$ es una función creciente de $0<t<x$ cualquier $x \geq 0$, lo que $$ |I(x)| = \left| \int_0^x \frac{(x-t)^2}{2} \exp(t) \mathrm{d}t \right| \leqslant \left| \int_0^x \frac{(x-t)^2}{2} \exp(x) \mathrm{d}t \right| = \exp(x) \left| \int_0^x \frac{(x-t)^2}{2} \mathrm{d}t \right| $$ Usted debe ser capaz de acabar con ella ahora

Answer 2

Sólo tenga en cuenta que

$$ I(x)=\int_{0}^{x}{\dfrac{(x-t)^2\exp(t)}{2}dt}=\int_{0}^{x}{\dfrac{(t)^2\exp(x-t)}{2}dt}\longrightarrow (1) $$

$$ \implies |I(x)|\leq \frac{e^x}{2}\int_{0}^{x}t^2 dt =\dots,$$

desde $e^{-t}\leq 1 $ en el intervalo de $[0,x]$.

Añadido: Eq. $(1)$ se sigue de la propiedad de la convolución

$$ \int_{0}^{x}f(x-t)g(t)dt = \int_{0}^{x}f(t)g(x-t)dt. $$