He trabajado en la mano, sin mirar las respuestas posibles; la factorización no era obvio para mí, pero usted puede reducir los posibles factores muy rápidamente. Sabemos que el número de estudiantes que compró lápices es de entre 16 y 30 inclusiva (la clase de 30 estudiantes, y la mayoría de ellos han comprado lápices). También sabemos que el producto final es impar, por lo que ninguno de los factores puede ser incluso. Así que los posibles valores de $s$ 17, 19, 21, 23, 25, 27, y el 29 de
Podemos descartar varios de estos se basan en pruebas sencillas. 1771 no es un múltiplo de 3 porque sus dígitos no se suman a un múltiplo de 3. Y sabemos que no es un múltiplo de 5 porque no termina en 5 o en 0. Descartar los múltiplos de 3 y 5 hojas 17, 19, 23, 29.
A partir de ahí, la prueba y el error rápidamente los rendimientos 23 como el único valor que divide 1771 de manera uniforme; el resultado es de 77, y que, obviamente, 11 * 7. Ya que el costo es mayor que el número de lápices, que significa que 23 estudiantes compraron 7 lápices de 11 centavos de dólar cada uno.
Véase también diversas respuestas que señalan las pruebas de utilidad para la divisibilidad por 11 que yo no era consciente de cuando yo escribí por primera vez esta respuesta! En este caso, la diferencia de las sumas de la alternancia de los dígitos hubiese mostrado rápidamente de divisibilidad por 11: $1 - 7 + 7 - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.
Después de pensar un poco, se me ha ocurrido que hay un principio general que está detrás de estas simples pruebas de divisibilidad. Me sorprende que nadie haya mencionado; quizás parezca demasiado obvio, pero no era obvio para mí al principio, así que voy a mencionar aquí por si ayuda a alguien más.
Un número de cuatro dígitos $abcd$ es equivalente a la expresión $a\,10^3 + b\,10^2 + c\,10^1 + d\,10^0$. Para encontrar el resto de una división por $n$, reducir las potencias de diez por $n$, y multiplicar los resultados por los dígitos $a$, $b$, y así sucesivamente. Así, por ejemplo, decir $n = 3$.
$$10^3 \equiv 1 \pmod{3}$$
$$10^2 \equiv 1 \pmod{3}$$
$$10^1 \equiv 1 \pmod{3}$$
$$10^0 \equiv 1 \pmod{3}$$
Así que tenemos $abcd \equiv a 1 + b 1 + c 1 + d 1 \pmod{3}$.
Puesto que el resto de cualquier potencia de 10 dividido por 3 es 1, la ecuación se resuelve con una simple digital de la suma.
Esto es así para $n=9$; así que, de nuevo, tenemos un sencillo digital de la suma. El mismo principio también está detrás de la regla 11, pero en lugar de ser una simple suma, se trata de una alternancia de suma, porque $10^x \equiv 1 \pmod{11}$ por extraño $x$ $10^x \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}$ incluso $x$. (Esto se muestra por un par de respuestas que figuran a continuación; usted puede convencerse de este hecho señalando que 11 * 9 = 99, 11 * 91 = 1001, 11 * 909 = 9999, 11 * 9091 = 100001, y así sucesivamente.)
Así que tenemos una secuencia de valores de $b^x \pmod{n}$ para un determinado $n$$b$, e $x = 0, 1, 2, 3...$. La llamada que un modular de base. El sistema modular de bases para $b = 10$ $n = 2, 3... 9, 11$ son de la siguiente manera, mostrando los valores en sentido inverso, de manera que aparezcan en el orden convencional de los números escritos:
$$2: ...0, 0, 0, 0, 0, 1$$
$$3: ...1, 1, 1, 1, 1, 1$$
$$4: ...0, 0, 0, 0, 2, 1$$
$$5: ...0, 0, 0, 0, 0, 1$$
$$6: ...4, 4, 4, 4, 4 ,1$$
$$7: ...5, 4, 6, 2, 3, 1$$
$$8: ...0, 0, 0, 4, 2, 1$$
$$9: ...1, 1, 1, 1, 1, 1$$
$$11: ...10, 1, 10, 1, 10, 1$$
Las bases para el 7 y 11 también puede ser representado de una manera diferente
$$7: ...-2, -3, -1, 2, 3, 1$$
$$11: ...-1, 1, -1, 1, -1, 1$$
Puedes ver aquí el origen de un gran número de pruebas de divisibilidad. En particular, esto muestra por qué usted sólo tiene que mirar en el último dígito 2 y 5, y sólo en los últimos dos dígitos para los 4, y sólo en los últimos tres dígitos de 8. Patrones similares a los que el patrón de 7 aparecen para grandes números primos.
