Hatcher Topología Algebraica 1.1.4

Question

Estoy atascado en la cuestión del ejercicio 1 de Hatcher.

Un subespacio $X\subseteq \mathbb{R}^n$ dijo estar en forma de estrella, si hay un punto de $x_0\in X$ tal que, para cada una de las $x \in X$ , el segmento de la línea de $x_0$ $x$se encuentra en $X$. Demostrar que si un subespacio $X \subseteq \mathbb{R}^n$ es localmente en forma de estrella, en el sentido de que cada punto de $X$ tiene una forma de estrella de barrio en $X$, entonces cada ruta en $X$ es homotópica en $X$ a un modelo lineal por tramos de ruta , es decir , una ruta que consta de un número finito de segmentos de línea recta recorre a velocidad constante.mostrar esto se aplica en particular al $X$ está abierta o si $X$ es una unión de un número finito de conjuntos convexos cerrados.

He sido incapaz de obtener el significado de la pregunta correctamente y no soy capaz de averiguar un posible enfoque. Amablemente me ayude a cabo. He seguido este enlace Ejercicio 1.1.4 en Hatcher Topología Algebraica, en forma de estrella pero no ha sido de mucha ayuda para mí.

TIA

Answer 1

He trabajado en este problema por un tiempo demasiado. Aquí está mi solución:

Deje $f : I \to X$ ser cualquier ruta de acceso en $X$. Por hipótesis, cada una de las $f(t)\in X$ tiene una forma de estrella de vecindad $U_t$. La colección de estos barrios $\{U_t \subset X : \forall t \in I\}$ es una cubierta abierta de a $f(I)$. Por la compacidad de $f(I) \subset X$, tenemos finito subcover $\{U_{t_0}, U_{t_1},\dots,U_{t_n}\}$. Mirando su preimagen, se puede elegir un conjunto finito de puntos de $0=\tau_0 \leq \tau_1,\leq \cdots \leq \tau_k=1$, de modo que para cada intervalo, $f([\tau_i,\tau_{i+1}]) $ contenidos en una sola forma de estrella de barrio, decir $U_i$. Deje $x_i$ ser el punto en $U_i$ donde todos los segmentos de la línea desde cualquier otro punto a $x_i$ contienen en $U_i$.

Para cada una de las $U_i$, definir una ruta de $L_i : I \to X$$L_i(s) = (L_{i}' \cdot L_i'' )(s)$, donde \begin{align*} L_i'(s) = f(\tau_i) + s(x_i - f(\tau_{i})), \quad L_{i}''(s) = x_i + s(f(\tau_{i+1})-x_i) \end{align*} son rectas las líneas de$f(\tau_{i})$$x_i$$x_i$%#%. Por construcción, el camino de $f(\tau_{i+1})$$L_i$. La parte crucial es mostrar que los caminos de la $U_i$ $L_i$ (comienza y termina en los mismos puntos y ambos se encuentran en $f|{[\tau_i,\tau_{i+1}]}$) son homotópica. Para mostrar esto, vamos a $U_i$. Tenga en cuenta que $f_i := f|[\tau_i,\tau_{i+1}]$, en línea recta homotopy a $\bar{L_i'} \cdot f_i \cdot \bar{L_i''}\simeq c_{x_i}$. Entonces $$ L_i' \cdot (\bar{L_i'} \cdot f_i \cdot \bar{L_i"}) \cdot L_i" \simeq L_i' \cdot c_{x_i} \cdot L_i" \implica f_i \simeq L_i' \cdot L_i". $$

Por lo tanto el modelo lineal por tramos de ruta $x_i$ define como $L : I \to X$ es homotópica a $L = L_0 \cdot L_1 \cdots L_{k-1} $ $$ L=L_0 \cdot L_1 \cdots L_{k-1} \simeq f_0 \cdot f_1 \cdots f_{k-1} \simeq f. $$

Answer 2

Este es un buen caso de uso para el denominado "real de la inducción". La demanda (un poco especializadas forma de Teorema 2 de este artículo) es este:

Un subconjunto $S$ $[0,1]$ es inductivo si el siguiente se tiene:

1. $0 \in S$.
2. Para todos los $x \in [0,1)$ si $x \in S$, $[x,y] \subseteq S$ algunos $y>x$.
3. Para todos los $x \in (0,1]$ si $[0,x) \subseteq S$,$x \in S$.

El teorema de la real de la inducción es que el único subconjunto inductivo de $[0,1]$ $[0,1]$ sí.

Así que si verificamos para un conjunto $S \subseteq [0,1]$ que es inductivo, entonces sabemos $S = [0,1]$.

En este caso, por un camino de $p: [0,1]\to X$, vamos a $S$ el conjunto de $t \in [0,1]$ de manera tal que la sub-ruta de $p(0)$ $p(t)$es homotópica en $X$ a un modelo lineal por tramos de ruta.

La comprobación de (1), nuestro "caso base", es trivial. (O una cuestión de definición: se debe considerar la función constante $p$ restringido a $\{0\}$ a ser un modelo lineal por tramos de ruta, ya que la concatenación con otro modelo lineal por tramos de ruta de acceso en el extremo produce otro modelo lineal por tramos de ruta.)

Para comprobar (2), vamos a $x<1$ y supongamos que la subruta de $p(0)$ $p(x)$es homotópica a un modelo lineal por tramos de ruta. Deje $X^*$ ser una estrella en forma de barrio de $x$, centrada en $x_0$; entonces, por la continuidad que hay algunos $y > x$ tal que $p(t) \in X^*$$t \in [x,y]$. Usted debe mostrar que el camino de $p$ $[x,y]$ es homotópica en $X^*$ para el modelo lineal por tramos de camino que va de $x$$x_0$%#%; este puede ser añadido para el modelo lineal por tramos de ruta homotópica a$y$$p$, para obtener un modelo lineal por tramos de ruta homotópica a$[0,x]$$p$.

Para comprobar (3), hacemos lo mismo, pero en lugar de tomar un punto de $[0,y]$, tomar un punto de $y>x$ tal que $w<x$$p(t) \in X^*$, y extender el modelo lineal por tramos camino de$t \in [w,x]$$p(w)$.